A határérték számítás egyenlő a felső/alsó korláttal?

Nem. Ha egy sorozat elemei nem vehetnek fel valaminél nagyobb (vagy kisebb) értéket, akkor annak a sorozatnak felső (vagy alsó) korlátja van, és minden határértékek korlàt, de nem minden korlát határérték.

Ha veszed a sin(n)+c (n eleme N, c eleme R) sorozatot, belàtható, hogy korlátos, de határértéke nincs, nem tart sehova.

Egyáltalán nem biztos, hogy a határérték korlát. Pl az 1, -1, 0,0,0... sorozat határértéke a 0, de ez nyilván se alsó, se felső korlát.

Az állítás úgy igaz, ha egy monoton sorozat konvergens, akkor a hatererteke a sup/inf, attól függően hogy monoton növő vagy csökkenő.

Illetve a gyakran ismételt állítás is majdnem ezt mondja, miszerint egy monoton és korlátos sorozat mindig konvergens, és a határértéke a sup/inf.

Szerintem erre nagyon kézenfekvő példa az 1/n sorozat.

A sorozat tagjai: 1; 1/2; 1/3, 1/4, .... 1/100000...

Szemléletesen is látszik, hogy a sorozat 0-hoz tart. (0 a határérték)

De felső korlátnak tökéletes választás a 2 vagy az 537, alsó korlátnak jó akár a -4; -15, korlátokból végtelen sok jó megoldást választhatunk.

A #2 mondja jól. Alapvetően ha a sorozat "lefolyását" vizsgáljuk, ha van véges határérték, az háromféle lehet.

a.) a konkrét határértéket egy oldalról közelíti meg;

b.) a hatérértéket azon átlendülve másik oldalról közelíti;

c.) oszcillálva közelíti meg a határértéket.

A kérdező kérdésére a b. és a c. pont az ellenpélda.

Sajnos ezeket az eseteket nem szokták analízisből tanítani külön-külön, mert inkább a diszkrét dinamikai rendszerek stabilitásvizsgálatához kötődnek. Pedig szemléletes.