5x/ (x-2) (x+3) = (a/x-2) - (b/x+3) Milyen a és b ertek esetén teljesül az egyenlőség? Feladat szerint a=2 és b=-3 De miért?

Ha beírod a 2-t és a -3-at, majd átalakítgatod a jobb oldalt, akkor láthatod, hogy így van.

A levezetés ugyanúgy megy, mint általában; közös nevezőre hozunk:

(5x)/((x-2)*(x+3)) = (a*(x+3))/((x-2)*(x+3)) - (b*(x-2))/((x+2)*(x-3))

Szorzunk a nevezővel:

5x = a*(x+3) - b*(x-2)

Kibontjuk a zárójeleket:

5x = a*x + a*3 - b*x + b*2

Vonjuk össze az x-et tartalmazó tagokat (kiemeléssel) a jobb oldalon:

5x = (a-b)*x + 3a + 2b

A két oldal csak úgy lehet igaz minden (értelmes) x-re, hogyha x-ekből és a konstansokból ugyanannyi van mindkét oldalon, tehát:

5 = a-b

0 = 3a+2b

Értelemszerűen a két egyenletnek egyszerre kell teljesülnie, tehát ezek egyenletrendszert alkotnak. Ennek valóban megoldása az a=2 és b=-3, és más nincs.

Az a és b ebben az esetben nem ismeretlenek, hanem úgynevezett paraméterek. A két kifejezés között az a különbség, hogy míg egyik esetben az ismeretlen értékét akarjuk meghatározni, addig a paramétert "úgy állítjuk be", hogy az egyenlet valamilyen tulajdonsággal bírjon az ismeretlen tekintetében; például tudjuk, hogy az

2x+1 = 5 egyenletnek a megoldása x=2. Viszont ha az lenne az egyenlet, hogy

a*x+1 = 5, akkor az lehetne a kérdés, hogy az a helyére milyen számot írjunk, hogy megoldása x=2 legyen?

(De lehetne bármi más is, csak az analógia kedvéért írtam ezt.)

A jelenlegi feladatban azt akarjuk elérni, hogy minden (értelmes) x megoldása legyen az egyenletek, vagyis a legbővebb számhalmazon azonosságot kapjunk.