Adott két egyenes: e egyenes (x+2) / (-6) = (y-2) /4 = (z-5) /4 és f: x=-1+t y=2 z=3-2t Hogyan határozzuk meg a kölcsönös helyzetüket?

Első körben vegyünk mindkét egyenesről két-két pontot, lehetőleg úgy, hogy a pontok koordinátái egészek legyenek (csak hogy a saját életünket megkönnyítsük);

az e egyenes egyik pontja (0=0=0): (-2 ; 2 ; 5)

az e egyenes másik pontja (-1=-1=-1): (4 ; -2; 1)

az f egyenes egyik pontja (t=0-ra): (-1 ; 2 ; 3)

az f egyenes második pontja (t=1-re): (0 ; 2 ; 1)

Most nézzük meg az egyenesek irányvektorait:

az e egyenes irányvektora: (6 ; -4; -4)

az f egyenes irányvektora: (-1 ; 0 ; 2)

Szemmel láthatóan ezek nem skalárszorosai egymásnak, tehát a két egyenes nem lehet párhuzamos vagy egybeeső, így marad az, hogy metszik egymást vagy kitérőek. Ezt úgy tudjuk megállapítani, hogy kiszámoljuk a metszéspontjukat, a tanult módon.

(Ha jobban megnézzük, félig-meddig szerencsésen lettek a pontok megválasztva; ha t=-1-et választottam volna, akkor az f egyenesnek a (-2 ; 2 ; 5) pontját kaptuk volna, amit már az e egyenesnél megtaláltunk, így meg is találtuk a keresett metszéspontot. Ha nincs ilyen szerencsénk, akkor mindenképp ki kell számolni a metszéspontot, ami aztán vagy van, vagy nincs.)