Kombinatorika kérdés?

Ismétléses kombináció:

[link]

(20+5-1 alatt 5) = (24 alatt 5) = 42504

Ha esetleg nem tudnánk, hogy ismétléses kombináció, akkor kétféleképpen is eljárhatunk;

Első: esetszétválasztással

Azt nézzük, hogy hány ember kap a nyereményekből;

-Ha 5 ember kap, akkor nem nehéz, (20 alatt az 5), mivel 20 emberből választunk ki 5 embert.

-Ha 4 ember kap, akkor őket (20 alatt a 4)-féleképpen jutalmazhatjuk meg. Az ötödik könyv tulajdonosát ebből a 4 emberből kell kiválasztanunk, ezt érthető okokból 4-féleképpen tudjuk megtenni, tehát (20 alatt a 4)*4-féleképpen oszthatóak szét a könyvek.

-3 ember esetén (20 alatt a 3) ember között kerül szétosztásra az ajándék. Itt aleseteket kell vizsgálnunk;

**mindkét könyvet ugyanaz kapja, ez 3 lehetőség, összesen (20 alatt a 3)*3

**1-1 könyvet kap még valaki, erre (3 alatt a 2) lehetőség van, így (20 alatt a 3)*(3 alatt a 2) esetben lesz ez így.

A kettőt összeadva kapjuk, hogy hány esetben nyer 3 ember.

-2 ember esetén is lesz esetszétválasztás; (20 alatt a 2)-féleképpen választható ki a két ember, akik ajándékot kapnak. Ha ezen felül

**a három másik ajándékot ugyanaz kapja, arra 2 lehetőség van, tehát (20 alatt a 2)*2

**az egyik egyet kap még, a másik 2-t, akkor arra is csak 2 lehetőség van, tehát ott is (20 alatt a 2)*2

-Ha csak egyvalaki nyer, arra 20féle forgatókönyv van.

Ha ezeket összeadod, akkor megkapod a létező összes kimenetelt.

_____________________

Érthető okokból ez a számítási mód túl sok esetben nem túl praktikus, itt kevés alesettel kellett számolni, azért lehetett végigvinni. Reményeink szerint van egy másik számítási mód is, amivel egyszerűbb megszámolni az eseteket.

Itt azt szokták mondani, hogy a 20 embert állítsuk fel egy sorba, és tegyünk közéjük pálcikákat (számszerint 20-1=19-et). Amikor kiosztjuk az ajándékokat, akkor ezzel egy szimbólumsor keletkezik; például ha az ajándékokat az első 5 ember kapja, akkor ezt kapjuk:

A|A|A|A|A|||||||||||||||

Ha mindegyik ajándékot az 5. ember, akkor ezt:

||||AAAAA|||||||||||||||

Ha pedig ezt írom:

||AA||||||A|||||A|||||A|

akkor ebből az olvasható ki, hogy a 3. ember két, a 9., a 14. és a 19. ember kapott 1-1-1 ajándékot. Érthető módon minden kiosztáshoz tartozik pontosan egy jelsor, és minden jelsorhoz tartozik pontosan egy kiosztás (ezek kölcsönösen egyértelmű helyzetben állnak), emiatt ha az egyiket meg tudjuk számolni, akkor a másikat is megszámoljuk vele együtt. A fenti 5 darab A-ból és 19 darab pálcikából (az ismétléses permutációnál tanultak szerint) 24!/(5!*19!)-féle jelsor állítható elő, ami egyébként megegyezik a (24 alatt az 5) kombinációval. Az ismétléses kombináció képlete akkor nyer értelmet, hogyha úgy írom fel, hogy (5+20-1 alatt az 5), ahol az 5 az 5 nyereményt, a 20-1 pedig a 20 ember közé tehető 19 pálcikát írja le.