Másodfoku egyenletnél miért a gyökök átlaga adja meg az x tengelyen a függvény minimumát? És akkor ennek az átlagával visszahelyetesítek az egyenletben akkor megkapom a minimumot

Ez így önmagában nem egészen igaz; egyrészt ezzel a szélsőérték helyét tudod meghatározni. Hogy ez minimum vagy maximum, az attól függ, hogy a főegyüttható előjele milyen (pozitív->minumim, negatív->maximum). Másrészt nem minden másodfokú függvénynek vannak gyökei, de attól még a szélsőérték létezik.

Geometriailag szépen belátható; tudjuk, hogy minden másodfokú függvény képe a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben "ugyanolyan", vagyis parabolaív, amiről pedig azt tudjuk, hogy egy szimmetrikus alakzat, és a másodfokú függvény parabolaívének szimmetriatengelye mindig merőleges az x-tengelyre. Értelemszerűen a zérushelyek is egyenlő távolságra vannak ettől a szimmetriatengelytől, a minimum/maximum pedig ezen kell, hogy feküdjön. Ennek fényében csak az a kérdés, hogy mértanilag hol helyezkedik el a tengely a két zérushelyhez képest; legyen a két zérushely a és b, ahol a<b, ekkor az a és b közötti távolság b-a, ennek felezőpontja (b-a)/2-nél van. Most az a kérdés, hogy ez a szám hol helyezkedik el a számegyenesen (x-tengelyen), erre a válasz az a+(b-a)/2 = (a+b)/2 helyen. Ha esetleg a=b, akkor sincs probléma, mert akkor (a+a)/2=a helyen lesz a szélsőérték.

Ha a függvénynek nincs szélsőértéke, akkor is lehet ezzel a módszerrel számolni; vegyük például az

x^2+2x+2

függvényt, ennek nincs zérushelye. Azt visont tudjuk, hogy ha kivonunk/hozzáadunk ebből/ehhez egy konkrét számot (konstansot), akkor a szélsőértéke helye nem változik, csak az értéke, de mivel nekünk ahelye kell, ez nem baj. Ha kivonunk belőle 2-t, akkor az

x^2+2x

függvényt kapjuk, ennek már meg tudjuk adni a szélsőértékhelyét, ami az eredetié is lesz.