Hogyan kell bázisvektor transzformációt végezni egy 2x2-es mátrixon?

Ez elég hülye jelölés a bázisra: B([1,2],[2,1]) de mondjuk oké.

A mátrixod hogy néz ki (melyik elem hol van) és milyen kapcsolatban áll a vektortérrel?

Még kell az, hogy milyen kapcsolatban áll a mátrix a vektortérrel.

Csak úgy oszlopvektorok egy listája? Sorvektorok? Lineáris transzformáció? Bilineáris forma?

Remek. Gondolom azt tudod, hogy ha adott egy v vektor az E bázisbeli v_e koordinátáival, akkor hogyan kapd meg belőle a B bázisbeli v_b koordinátáit?

. . .

Minden vektorom oszlopvektor. Leírok mindent újra, hogy lásd hogy stimmelnek-e a jelölések.

Legyen E egy bázis, e1 és e2 a két bázisvektor. Legyen b1, b2 két másik vektor. Az E bázisbeli koordinátáik b1_e = (1 2) és b2_e = (2 1) oszlopvektorok.

Adott az A transzformáció a mátrixa az E bázisban A_e =

1 2

-2 6.

Kíváncsi vagyunk a B bázisbeli mátrixára.

- - - Emlék - - -

Legyen B az a mátrix, amit úgy kapunk, hogy egymás mellé írjuk a b1_e és a b2_e oszlopvektorokat: B=(b1_e,b2_e)=

1 2

2 1.

Ekkor a B mátrix azt tudja, hogy egy vektor v_b, B bázisbeli koordinátáiból csinál E bázisbelit:

: v_e = B*v_b.

(Ez a b1, b2 vektorokra nyilván fennáll, a többire meg a linearitás miatt adódik.)

B^-1 mátrix ennek az ellenkezőjét csinálja, a vektorok E bázisbeli koordinátáit írja át B bázisbelivé:

: v_b = B^(-1)*v_e.

- - - Emlék vége - - -

Ekkor az A leképezés B bázisbeli alakját megkaphatod úgy, hogy fogod a v_b vektort, átírod E bázisbeli alakra, megszorzod az A_e mátrixszal, majd a kapott vektort visszaváltod a B bázisra.

Képlettel: v ↦ (B^(-1)*(A_e*(B*v))).

Ebből adódik, hogy az A transzformáció mátrixa a B bázisban

: A_b = B^(-1)*A_e*B

A konkrét esetben elvégezve az mátrix invertálást és a két mátrixszorzást A_b =

5 0

0 2

jön ki megoldásnak, azaz az A transzformáció a b1 b2 vektorokat 5-tel illetve 2-vel nyújtja.