Hogyan lehet kiszámolni? És mi az eredmény? Mekkora a fordulatszáma, /perc, zéró gravitáción, annak a 20 m sugarú hengernek, melynek a palást belső felén elhelyezkedő 80 kg tömegű testre 1 G gravitációs erőnek megfelelő centrifugális erő hasson.

(A testünket pontszerűnek feltételezve nem kell törődni a tehetetlenségi gyorsulás gradiensével.)

Szóval azt szeretnénk, hogy a rá ható centrifugális erő Fcf nagysága éppen m*g legyen, ahol g a normál földfelszíni gravitációs gyorsulás. Tudhatjuk, hogy

Fcf = m*r*ω^2,

ahol ω a szögsebesség r pedig az adott sugár.

[link]

Ebbe beírva, hogy Fcf = m*g (amit szeretnénk), és hogy ω = 2*π*n, ahol n a fordulatszám, lesz egy egyenletünk, amiben csak a fordulatszám az ismeretlen:

m*g = m*r*(2*π*n)^2,

n^2 = g/(4*π^2*r),

ahol egyszerűen gyököt vonhatunk, mert a fordulatszám nagysága a kérdés:

n = sqrt(g/(4*π^2*r)) = … (Tessék helyettesíteni.*)

------

*Pro trükk:

g/[g] ≈ π^2,

ahol [g] = 1 m/s^2 a g mértékegysége. Ezzel

n ≈ sqrt((1 m/s^2)/(80 m))) ≈ 1/9 1/s,

ahol az sqrt(80) ≈ sqrt(81) közelítést használtam.

Nem-nem. 1/9 (egy kilenced ≈ 0,11111) per másodperc. (De a lábjegyzetet csak érdekességnek szántam, hogy ne legyen unalmas a válaszom olyanoknak se, akik már gyakorlottabbak a témában.) Ami a lábjegyzet felett van, az mennyire oké?

A konkrét végeredményhez ugye helyettesíteni kell a képletbe, hogy

n = sqrt(g/(4*π^2*r)).

Ugye g = 9,80665 m/s^2 definíció szerint,

r = 20 m adott a feladatban és

π ≈ 3,141593.

Ezzel

n ≈ sqrt((9,80665 m/s^2)/(4*3,141593^2*(20 m))).

A m szerepel a számlálóban és a nevezőben is, így kiesik, és a mértékegységek közül marad az 1/s^2 a gyök alatt, ami 1/s, ez lesz a mértékegysége a végeredménynek. A maradékot meg beírhatod számológépbe:

sqrt(9,80665/(4*3,141593^2*20)) ≈ 0,11145

[link]

Tehát a végeredmény

n ≈ 0,11145 1/s,

amit a feladat szerint még át kell váltani 1/min-be. Ugye 1 min = 60 s, tehát s = 1/60 min. Ezt helyettesítve

n ≈ 0,11145 1/s = 0,11145 1/(1/60 min) = 0,11145 1/1*60/min = 60*0,11145 1/min,

n ≈ 6,69 1/min.

[link]

Az az első kérdésed, hogy „Hogyan lehet kiszámolni?”. Ezt úgy érted meg a legjobban, ha te magad is megpróbálod. Számold ki, mit ad az

n = sqrt(g/(4*π^2*r))

képlet az m = 65 kg-os és m = 100 kg-os emberedre is. (Ugye g ≈ 9,81 m/s^2, π ≈ 3,14 és r = 20 m; a végén egy 60-as szorzással tudod 1/min-be váltani.)

Amúgy bennem olyan problémák merültek fel, hogy egy ember nem tekinthető pontszerűnek. Ennél a fordulatszámnál és sugárnál az emberek lábánál ugye 1 g hatna, de például egy 170 cm magas, álló ember fejénél már csak 0,92 g. Ez nem tudom mennyire volna zavaró, de szerintem bőven érezhető lenne. Illetve ha elkezdenek az emberek mozogni, akkor a Coriolis-erő miatt simán nagy mértékben változó erőtérnek lesznek kitéve.