Igazoljuk, hogy π algebrai a Q((3π^3−8)/(5π^7-4π+2) test fölött?

Hogyan igazolnád?

Hogyan igazolnád, hogy egy test felett egy szám algebrai?

Legyen a = (3π^3−8)/(5π^7-4π+2), ekkor ugyebár Q(a) testbővítést nézzük. Átszorozva: 5aπ^7-4aπ+2a = 3π^3−8, majd nullára rendezve: 5aπ^7-4aπ+2a-3π^3−8=0, tehát π gyöke a p(x)=5ax^7-4ax+2a-3x^3−8 polinomnak, amelynek együtthatói Q(a)-beliek nyilván. Tehát π gyöke valamely Q(a)[x]-beli polinomnak, ez viszont éppen azt jelenti, hogy π algebrai Q(a) felett.