Miért szükséges ez a feltétel az alábbi egyenlet megoldásához?

Ha inverzet, akkor ajánlom figyelmedbe ezt:

[link]

Itt (is) láthatod, hogy például az

(1/20)^x=log(1/20)x (1/20 alapú logaritmus x)

Ezek más inverzei, és 3 megoldása van az egyenletnek.

Szerintem az előző válaszolók félreértették a kérdést, Legalábbis a 3-asban mutatott függvény nem releváns, hiszen monoton. (Egyébként maga a kérdés is kissé félrevezető, bármilyen irányú monotonitás elég, hiszen monoton növekvő függvény inverze egyébként is monoton csökkenő lesz.)

Na de hogy válaszoljak is:

Mivel f bijekció, tetszőleges egyenletre alkalmazva ekvivalens egyenletet kapunk. Vagyis f(x)=f^{-1}(x) <=> f(f(x))=x. Ha f monoton, akkor nyilván csak az f(x)=x lesznek a jó megoldások, ellenben ha f nem monoton, akkor lehet, hogy f(x)!=x, de a második f ráalkalmazás "korrigálja" x-be, tehát több lehetséges gyöke van az eredeti egyenletnek, mint f(x)=x-nek.

Sajnos most ilyen, nem monoton f nem jut azonnal eszembe, ahol lennének extra gyökök, de ha tudok egyet konstruálni, leírom.

A kérdező a 7-ben jól leírta a lényeget.

A 3. példában szereplő mindkét függvény szigorúan monoton csökkenő, és három megoldás van, és ezek közül csak ez egyik az f(x)=x -nek megoldása.