Van 9 (egyforma) egybevágó kis négyzetünk, 3 piros, 3 kék, 3 sárga. Ezekből hányféle 3x3-as nagyobb négyzetet lehet összerakni azzal a kikötéssel, hogy minden sorban és minden oszlopban mind a három színű kis négyzet előforduljon.?

Én esetszétválasztással számolnék aszerint, hogy bal felső-középső-jobb alsó átlóban hogyan helyezem el a színeket/betűket.

1. eset, ez a legkönnyebb: az átlóban csak különböző betűk szerepelnek. Ha ezzel számolsz, láthatod, hogy igazából a többi mezőbe csak egyféleképpen tudod a betűket elhelyezni. Az átlóba 3!=6-féleképpen tudod elrakni a három különböző betűt, így ebben az esetben 6 lehetőség van.

2. eset: három egyforma betűt helyezünk az átlóba. Ebben az esetben vegyük észre azt, hogy ha kiválasztjuk bármelyik mezőt, és abba beleírunk, akkor az összes többi mezőt egyértelműen tudjuk csak kitölteni, így gyakorlatilag az a kérdés, hogy főátlót és azt a +1 mezőt hányféleképpen tudjuk kitölteni. Erre a válasz 3*2, ami meglepően ugyanúgy 6, mint az első esetben.

3. eset: két különböző betű kerül valamilyen formában a főátlóba. Ezzel viszont az a gond, hogy ha például két A-t rakunk, akkor a harmadiknak a helye is csak a főátlón lehet, tehát ebben az esetben 0 lehetőséget számoltunk meg.

Más verzió nincs, így 6+6=12-féle kitöltési lehetőség van.

Előfordulhat, hogy ennél van egyszerűbb (egylépéses) megoldás is, én hirtelen most ezt találtam.

Ebből a felírkálós dologból is kijön a 12, csak te lehagytad az egyik esetet:

ACB

BAC

CBA

Ha ezen a ponton be tudod látni, hogy nincs több olyan eset, amelyben a bal felső sarokban A szerepel, akkor innen már csak ezt a leszámolt 4 esetet kell beszorozni 3-mal, mert értelemszerűen ha a bal felső sarokban B vagy C van, akkor ugyanúgy 4-4 lehetőség van.

A 3 a helyes válasz azon feltétel miatt, hogy "Két nagy négyzetet nem tekintünk különbözőnek, ha elforgatással egymásba vihetők."

Ugyanis ha megmondjuk a középső kis négyzet színét, akkor onnantól forgatás erejéig egyértelműen meghatározott a színezés. Legyen ugyanis a középső kis négyzet színe A, ekkor ott tartunk, hogy

* * *

* A *

* * *.

Ekkor A élszomszédai között pontosan két B és pontosan két C van, ráadásul az azonosak nem lehetnek szemközt (hiszen pl. B A B sor tiltott). Tehát minden színezés beforgatható abba, hogy

* B *

B A C

* C *.

Innen egyféleképp lehet befejezni, hiszen kell B a harmadik sorba, ami csak a jobb alsó sarok lehet, hasonlóan a bal felső C, a többi A:

C B A

B A C

A C B.

Tehát a középső elem forgatás erejéig meghatározza a színezést, nyilván különböző színű középső négyzetes ábrák nem vihetők egymásba, így a helyes válasz 3.

Tehát kérdező: jól felsoroltad az összes esetet, csak azt nem sikerült bebizonyítanod, hogy minden más ezek elforgatottja.

Ami példát #2 ír, az a kérdésbeli 2.-nak 180 fokos elforgatottja.

Valamiért azt olvastam, hogy megkülönböztetjük őket. Valószínűleg a szövegértéshez már késő volt. Legalább arra az esetre is született egy megoldás, amikor különbözőeknek tekintjük.

Teljesen jó az, amit a második válaszoló írt.