Analízis határértékes feladataiban mit jelentenek a követlező jelölések, gondolatmenetek?

Nem annyira bonyolult ez:

Az, hogy an sorozat tart a +végtelenhez definíció szerint azt jelenti, hogy bármely P > 0 szám esetén létezik olyan k szám, hogyha n > k, akkor an > P.

Azaz egy bizonyos tagtól kezdve a sorozat összes eleme nagyobb, mint a P szám. És minden P > 0 esetén igaznak kell lenni, ez fontos.

Vegyünk egy példát, a világ legegyszerűbb sorozatát, ami tart a +végtelenbe: an=n.

Ugye itt bármely P > 0 esetén igaz létezik k, hogyha n>k, akkor an > P.

Ugye egyszerűen P=k.

Na de nézzük a te feladatod:

an= 6n^3 + 3. Ezt átalakítva kapod, hogy n = 3.gyök((an-3)/6). Azaz az n. tag indexét ki lehet így fejezni az n-edik taggal.

Legyen adva egy tetszőleges P > 0 és legyen N(P) = ∛((P-3)/6)

Nézd meg mi történik, ha n > N(P):

3.gyök((an-3)/6) > ∛((P-3)/6)

an > P.

Azaz definícióra visszatérve: minden P > 0 esetén létezik olyan k (= N(P)), hogyha n > k (=N(P)), akkor an > P.

Nem tudom így világosabb-e.

Nagy vonalakban a lényeg;

A sorozat azért tart a végtelenhez, mert ha veszel egy P>0 számot, akkor biztosan lesz a sorozatnak olyan tagja, amitől kezdve az összes többi tag is nagyob lesz P-nél. Általánosan azt mondhatjuk, hogy ennek a tagnak a sorszáma N(P), ami érthető okokból függ P-től.

Hogy miért azt kell venni, ami le van írva; vegyük például azt az esetet, hogy mikor lesz a sorozat nagyobb 100-nál vagy aztal egyenlő, ekkor a

6n^3+3 >= 100

egyenlőtlenséget kell megoldanunk. Rendezés után

n >= köbgyök((100-3)/6). Ennek az egyenlőtlenségnek a legkisebb egész megoldását úgy kapjuk, hogy a köbös kifejezést felfelé kerekítjük, vagyis a felső egészrészét vesszük.

Érdemes megjegyezni, hogy ezzel a lehető legkisebb küszöbindexet adtuk meg, de a legtöbb esetben erre nem vagyunk képesek, így beérjük nagyobb küszöbindexxel is. Tehát ha te például azt mondod, hogy a küszöbindex legyen N(P)=felsőegészrész(P+10), akkor az is bizonyítja, hogy a sorozat a végtelenbe tart, persze ezt külön be is kell látni, hogy miért jó.