Van-e olyan négyzetszám ami 389-re végződik?

Azt kell tudni, hogy egy szorzat utolsó n számjegyére csak a szorzótényezők utolsó n számjegyétől függ. Például a 384852158*452418463 szorzat utolsó két számjegye csak az 58*63 szorzattól függ;

384852158*452418463 = 174114221804593154

58*63 = 3654, látható, hogy mindkettő 54-re végződik.

Érdemes hátulról kezdeni;

-mikor végődik egy szorzat 9-re úgy, hogy mindkét tényező ugyanakkora (elvégre négyzetszámot keresünk)? Ezt nem nehéz kitalálni, csak a 3*3=9 szorzat eredménye végződik 9-re.

-mikor végződik egy szorzat 89-re? Ez már egy kicsit nehezebb, de nem megoldhatatlan. Mivel még mindig négyzetszámra törekszünk, és a 9-es végződésnek stimmelnie kell, ezért csak a 3-ra végződő kétjegyű számokat kell vizsgálnunk;

13*13=169, nem jó.

23*23=529, nem jó.

33*33=1089, ez már esélyes.

43*43=1849, nem jó.

53*53=2809, nem jó

63*63=3969, nem jó.

73*73=5329, nem jó.

83*83=6889, ez is jó lehet

93*93=8649, ez sem jó.

Tehát, ha létezik is, a szám gyöke vagy 33-ra vagy 83-ra végződhet.

Innen megpróbálod befejezni?

Számelméletileg így lehet megoldani; mint ahogyan írtuk, az utolsó három számjegy az érdekes nekünk, ezt jelüljük [abc]-vel, vagyis ez egy legfeljebb háromjegyű szám.

Ha ez megvan, ezt tudjuk felírni:

[abc]^2 kongruens 389 mod(1000)

Az [abc] felírható összegalakban a korábban tanultak alapján; =100*a+10b+c, tehát ezt kell második hatványra emelnünk;

(100a+10b+c)^2 = 10000a^2+100b^2+c^2+2000ab+200ac+20bc, tehát

10000a^2+100b^2+c^2+2000ab+200ac+20bc kongruens 389 mod(1000)

Az 1000-rel osztható tagok kihúzhatóak a bal oldalon, így

100b^2+200ac+20bc+c^2 kongruens 389 mod(1000)

Nincs új a nap alatt; mivel az összeg utolsó számjegyét csak c^2 befolyásolja, ezért ennek 9-re kell végződnie, ami c=3 és c=7 esetén lesz igaz.

-Ha c=3:

100b^2+200a*3+20b*3+3^2 kongruens 389 mod(1000), elvégezzük a műveleteket:

100b^2+600a+60b+9 kongruens 389 mod(1000), kivonjuk a 9-et:

100b^2+600a+60b kongruens 380 mod(1000), ezután tudunk osztani 10-zel:

10b^2+60a+6b kongruens 38 mod(100), és még 2-vel is:

5b^2+30a+3b kongruens 19 mod(50)

Itt lehetne tovább folytatni, de a paritás szempontjából vizsgáljuk, akkor azt láthatjuk, hogy a bal oldali összeg értéke mindenképp páros; emeljünk ki b-t:

b*(5b+3)+30a; a 30a mindenképp páros, a b*(5b+3) esetén pedig valamelyik tényező lesz mindenképp páros, tehát az összeg páros. Mivel az 50 is páros, ezért páratlan nem lehet a maradék, csak páros, így 19 nem lehet.

-Ha c=7

100b^2+200a*7+20b*7+7^2 kongruens 389 mod(1000), itt is műveleteket oldunk meg:

100b^2+1400a+140b+49 kongruens 389 mod(1000), kivojunk a 49-et:

100b^2+1400a+140b kongruens 340 mod(1000), osztunk 10-zel:

10b^2+140a+14b kongruens 34 mod(100), és még 2-vel:

5b^2+14a+7b kongruens 17 mod(50), itt is ugyanaz a helyzet; a bal oldal bizotsan páros, 50-nel vett maradéka szintén biztosan páros, így 17 nem lehet.

Más megoldás nincs, úgyhogy 389-re végződő négyzetszám nem létezik.

Lehet, hogy van elegánsabb megoldás is, én most csak ezt találtam (már azon túl, hogy egyesével végigkutatjuk az eseteket).