Hány 0-ra végződik a 2014! szám? Igazoljuk, hogy ha n>1, akkor n! nem négyzetszám.

Mikor nő a 0-k száma? ha 10-el szorzunk egy számot. A 10 prímtényezős felbontása 2*5, tehát azt kell megnézni, hogy a 2014!-ban hányszor szorzunk 2-vel és 5-el.

Mivel mindkettővel kell szorozni, hogy 10-et kapjunk, így elég azt megnézni, amiből kevesebb lesz. Ez értelemszerűen az 5.

Nézzük hány számban van meg 5^1, nyilván 2014:5 = 402 ilyen szám van.

Most nézzük meg 5^2-re, 2014:25=80, (402:5-el is kijön) és mivel az 5^1-nél már minden 5 többszöröst számoltunk, most nem kell duplán számolni.

5^3-ra megkapjuk, hogy 2014:125=16 (80:5), ezt is egyszer kell számolni.

Végül 5^4-re megkapjuk, hogy 2014:625=3 (16:5).

Ezt összeadva 3+16+80+402=501.

Azt, hogy elég csak az 5-ösöket számolni abból is látszik, hogy 2014:2=1024 máris több az 5-ös szorzók teljes számánál, tehát bizonyos, a 2014!-ban 501 darab 0 lesz.

Lehet, hogy nem ezt a megoldásmenetet várják, elvégre Euler-féle phi-függvényt nem használtam, ez esetben sajnálom, nekem ez a megoldás jutott hirtelen eszembe :D

Ha n>1 akkor n! nem négyzetszám.

A négyzetszámok tulajdonsága, hogy felbonthatók x^2 alakra, ez ekvivalens azzal, hogy minden prímtényezőjük kitevője páros. A Csebisev tétel szerint minden 1-nél nagyobb természetes szám, és a kétszerese között van prímszám. Ez a tétel nekünk azért jön most jól, mert az 1 után következő szám a 2, ami prímszám. 2! egyébként is kisebb még az első 1-nél nagyobb négyzetszámnál, viszont mivel 2 prímszám, ezért prímtényezős felbontása önmaga, és az első olyan szám, aminek a prímtényezős felbontásában újra szerepelni fog a kétszerese. Viszont a Csebisev tétel szerint a 2 és kétszerese, a 4 között lesz egy újabb prímszám, és valóban, a 3 prímszám. Ezért a szorzatnak ismét van olyan tagja, ami nem négyzetre emelhető. A legkisebb olyan n, ahol n! esetében 3 négyzetre emelhető lesz, az a 6, de a tétel szerint (és saját meglátásunk szerint) újabb prímszám jön itt képbe: az 5. Kijelenthetjük, hogy a Csebisev tétel miatt minden n>1 esetén lesz n!-nak olyan tagja, ami nem négyzetre emelhető, és így n! nem lehet négyzetszám.