Mennyi (k*p)!/((p^k)*k!) maradéka mod (p)?

A számlálóbeli (k*p)! kifejezés az első (k*p) darab pozitív egész szám szorzata, ezt bontsuk ketté úgy, hogy szedjük külön a p-vel oszthatókat és a p-vel nem oszthatóakat. A p-vel oszthatóak szorzata itt éppen

p*2p*3p*...*kp.

Vegyük észre, hogy ez a szorzat, amit a számlálóban az imént leválasztottunk, éppen a nevezőbeli kifejezés, ezért ezzel tudunk egyszerűsíteni. Tehát az a kérdés, hogy milyen maradékot ad p-vel osztva azon pozitív egészek szorzata, amik kp-nél nem nagyobbak, és p-vel nem oszthatóak.

Amennyiben p prímszám, akkor a Wilson-tétel miatt ez a szorzat kongruens (-1)^k-nal modulo p, hiszen itt k db modulo p redukált maradékrendszer elemeinek szorzata szerepel.

Ha p 4-től különböző összetett szám, akkor (p-1)! osztható p-vel, ezért ekkor a maradék 0 lesz.

Ha p=4, akkor (mivel 3!-nak a 4-es maradéka 2 ) a válasz 2^k.