Hogyan kell megoldani az alábbi feladatot? 𝑝𝑞|(𝑛)^𝑝𝑞 − (𝑛)^𝑝 − (𝑛)^𝑞 + 𝑛

A feladat úgy szól, hogy bizonyítsuk be, hogy tetszőleges n pozitív egész, valamint p és q különböző prímek esetén teljesül, hogy

𝑝𝑞|(𝑛)^𝑝𝑞 − (𝑛)^𝑝 − (𝑛)^𝑞 + 𝑛.

Mivel p és q különböző prímek, ezért egymáshoz relatív prímek, ezért elegendő belátni, hogy p és q külön is osztói a megfelelő számnak. Sőt elég azt igazolnunk, hogy p osztója az n^(pq) - n^p - n^q + n számnak, hiszen a q-val való oszthatóság bizonyítása ugyanúgy megy (p és q szerepe szimmetrikus).

Vegyük észre, hogy n^(pq)=(n^q)^p. Ezen észrevételt és a kis Fermat-tételt használva az ((n^q)^p)-(n^q), (n^p)-n számok oszthatók p-vel, ezért ezek különbsége is osztható p-vel azaz

p|((n^q)^p)-(n^q)-((n^p)-n)=n^(pq) - n^p - n^q + n, és ezt kellett bizonyítani.