Hogyan kell az alábbit megoldani? Generátorrendszert alkotnak-e ? (a1= (2,3,0,1) a2= (1,1,1,-1) a3= (1,3,-1,2) a4= (0,-1,0,0) Ha igen, miért?

[link]

Mivel 4 vektor van 4 koordinátával (vagyis jó eséllyel bázist alkotnak), ezért csak azt kell megnéznünk, hogy a négy vektor lineárisan független-e. Ezt a legkönnyebben úgy tudjuk kiszámolni, hogy mátrixba rendezzük a vektorokat, és megnézzük, hogy a mátrix determinánsa 0 vagy nem; ha 0, akkor lineárisan függnek, ha nem 0, akkor függetlenek, tehát generátorrendszert alkotnak:

[link]

Mivel 0, ezért a négy vektor lineárisan függ, tehát a teljes R4 vektorteret nem fedik le. Persze itt még nincs vége, mert meg kell mutatni, hogy hogyan függnek, vagy kell mutatni egy olyan vektort, amit ezek lineáris kombinációjaként nem lehet előállítani. Ha szerencsénk van, "ránézésre" meg lehet mondani, ha nincs, akkor végig kell körmölni; azt kell megmutatni, hogy léteznek c1;c2;c3 skalárok, hogy

(2,3,0,1) = c1*(1,1,1,-1) + c2*(1,3,-1,2) + c3*(0,-1,0,0)

Elvégezzük a beszorzásokat és az összeadásokat;

( 2 , 3 , 0 , 1 ) = ( c1+c2 , c1+3*c2-c3 , c1-c2 , -c1+2*c2 )

Két vektor akkor és csak akkor egyenlő, hogyha koordinátáik megegyeznek, tehát

2 = c1+c2

3 = c1+3*c2-c3

0 = c1-c2

1 = -c1+2*c2

Ennek megoldása az, hogy c1=c2=c3=1, ellenőrzés:

1*(1,1,1,-1) + 1*(1,3,-1,2) + 1*(0,-1,0,0) = (2,3,0,1), és valóban.

Ezzel igazoltuk, hogy a négy vektor nem feszíti ki az R4 vektorteret, így nem lehet generátorrendszer.

Mivel lineáris függőség van, ezért a (2,3,0,1) vektort kihúzhatjuk a listáról, így marad három vektor. Ha tovább vizsgálódunk, akkor megtudhatjuk, hogy az R3 alteret meghatározzák-e. Ezt már rád hagyom.