Komplex egyenlet megoldását valaki?

z=1/9

Ha az extra zárójelet töröljük.

Ennél nem muszáj trigonometrikus alakban felírni, algebrailag is kijön;

szorzat értéke csak akkor lehet 0, hogyha valamelyik tényező 0, így

vagy 3*gyök(x)-1 = 0, tehát x=1/9

vagy x^4+16 = 0, kivonunk 16-ot:

x^4 = -16, gyököt vonunk:

x^2 = +-4i, majd újra gyököt vonunk:

x = +-gyök(+-4i) = +-2*gyök(+-i)

Így elég csak a gyök(i) és gyök(-i) értékét meghatározni.

Tudjuk, hogy kompex szám gyöke komplex, vagyis a megoldást a+bi alakban keressük, ahol a;b valós, tehát:

a+bi = gyök(i), négyzetre emelünk:

a^2+2abi-b^2 = i, kicsit átrendezzük:

a^2-b^2 + 2abi = i

Két komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, hogyha valós és képzetes részeik megegyeznek, tehát:

a^2-b^2 = 0

2ab = 1, a második egyenletből b=1/(2a)

Behelyettesítés előtt érdemes a bal oldalon szorzattá alakítani:

(a+b)*(a-b)=0, és most behelyettesítünk:

(a+1/(2a))*(a-1/(2a)) = 0, szorzat értéke akkor 0, hogyha ... :

a+1/(2a)=0, szorzunk:

2a^2+1=0, erre nincs valós megoldás

a-1/(2a)=0, szotunk:

2a^2-1=0, ennek megoldása a = +-1/gyök(2) = +-gyök(2)/2, ebből pedig b=+-gyök(2)/2, tehát a két szám: gyök(2)/2+gyök(2)*i/2 és -gyök(2)/2-gyök(2)*i/2, ezek +-2-szerese z két lehetséges értéke.

Ugyanezt meg kell csinálni a gyök(-i)-vel is. Ugyanazok a lépések, csak más fog kijönni.