Mi a megoldása ennek az egyenletnek a komplex számok halmazán?

Feltételezem, hogy a -4 is a nevezőben van.

Mivel komplex számot keresünk, ezért biztos, hogy felírható a+bi alakban, tehát x=a+bi (ahol a;b valós számok), értelemszerűen konjugált(x)=a-bi, tehát az egyenlet így módosul:

(a+bi+i-3i*(a-bi))/(a+bi - 4) = i-1, szorzunk a nevezővel:

a+bi+i-3i*(a-bi) = (i-1)*(a+bi-4), kibontjuk a zárójeleket:

a+bi+i-3ai-3b = ai-b-4i-a-bi+4, vonjuk össze:

(a-3b) + (-3a+b+1)i = (-a-b+4) + (a-b-4)i

Nem véletlen, hogy így zárójeleztem; most azt látjuk, hogy két komplex számunk van, amik egyenlőek egymással. Azt tudjuk, hogy két komplex szám akkor és csak akkor egyenlő egymással, hogyha valós és képzetes részeik megegyeznek, tehát:

a-3b = -a-b+4 és

b+1-3a = a-b-4

Ennek a két egyenletnek egyszerre kell teljesülnie, ezért ezek egyenletrendszert alkotnak. Az első egyenletből a=b+2 adódik, ezt írjuk a második egyenletben a helyére:

b+1-3*(b+2) = (b+2)-b-4, kibontjuk a zárójelet:

b+1-3b-6 = b+2-b-4, összevonunk

-2b-5 = -2, ebből b=-1,5 adódik, így a=-1,5+2=0,5, tehát x=0,5-1,5i, ez lesz az eredeti egyenlet megoldása.

Ellenőrizni úgy kell, mint általában, de én most a WolframAlphára bízom magam:

[link]

Ha esetleg nem ez lett volna az egyenlet, akkor az alapvetés ugyanaz; x-et írjuk át a+bi alakra, aztán menet közben kapunk egy kétismeretlenes egyenletrendszert (ha szerencsénk van, akkor a vagy b kiesik, de általában nem), és azt kell megoldani.