Nah ezt hogyan lehet megoldani??

Ezt nem igazán lehet levezetni, mert a 4-ed fokú egyenlet megoldóképlete őrületesen bonyolult.

Itt nem tudsz mást tenni, minthogy az x = 3 megoldást "megsejted" tippelgetés útján. Ezután persze biztos lehetsz benne, hogy a rendezett negyedfokú egyenletből kiemelhető az (x - 3) tag:

X^4-14x^2-3x+54=(X - 3)(x^3 + 3X^2 - 5X - 18)

A probléma persze még mindig áll, hiszen a másik tényezőt is valahogy meg kell oldani 0-ra, de ez megintcsak nem könnyű hiszen harmadfokon vagyunk. Kíváncsiságból én beírtam az új egyenletet a wolframalphába és ott tök egyértelműen látszott, hogy a másik valós megoldás a Cardano formulából esik ki és ilyen módon nincs esélyünk ügyeskedéssel meghatározni.

Szóval a másik megoldásért az itt leírtakat kellene végigcsinálni:

[link]

Kis update, mert észrevettem, hogy ami kiesne a harmadfokú egyenlet megoldásából az amúgy sem lenne jó:

Menjünk vissza az elejére:

Mivel a gyökfüggvény csak nemnegatív értékeket eredményezhet, így x >= sqrt(7) (x <= -sqrt(7) kizárva mert x>=5/3 ahogy mondtad)

Be lehet látni, hogy sqrt(7)-nél nagyobb egyenlő X-re nem lesz megoldása a harmadfokú egyenletnek. Ehhez például elég azt bizonyítani, hogy gyök 7-ben nincs megoldás és hogy a függvény legalább monoton nő ezután.

sqrt(7)-ben nincs megoldás, szimplán beírod a harmadfokúba x helyére:

f(sqrt(7)) > 0

sqrt(7)-ben szig mon növekedés van:

derivált: f'(x) = 3x^2 + 6x -5

f'(x) pedig látszik, hogy sqrt(7) és fölötte pozitív, azaz a függvény szig mon nő.

Egyetlen megoldás így a 3.

Az előbb említett grafikus megoldás:

[link]