2^256 tiz kb. Hányadik hatvanya?

Ezt a szám 10-es alapú logaritmusából tudod meg; minden n pozitív egész számnak [lg(n)]+1 a számjegyeinek a száma, ahol a szögletes zárójel a lefelé kerekítést jelenti.

Esetünkben [lg(2^256)]+1-et kell kiszámolni. A logaritmus azonosságai miatt ez egyenlő [256*lg(2)]+1-gyel, lg(2) pedig könnyedén meghatározható, akár számológép nélkül is.

Jelölés: log[a](b) → „b”-nek az „a” alapú logaritmusa.

Az egyik összefüggés, amire szükség lesz:

log[a](b) = log[c](b) / log[c](a)

A másik:

log[a](a^b) = b

A kérdésed:

10^x = 2^256

Vegyük mindkét oldal 10 alapú logaritmusát:

log[10](10^x) = log[10](2^256)

Az első összefüggés alapján:

x = log[10](2^256)

Az 10 alapú logaritmust fejezzük ki 2-es alapú logaritmussal:

x = log[2](2^256) / log[2](10)

Újfent az első összefüggést használjuk:

x = 256 / log[2](10)

Innen már csak ki kell számolni:

x = 256 / 3,321928…

x = 77,063678…

Nota bene:

2^256 = 1,157920… * 10^77

Bocsánat, túlgondoltam a feladatot... Valamiért azt hittem, hogy a számjegyek száma a kérdés, és én erre is adtam választ a 2-esben.

Tehát a szám kb. a 10-nek a 77-dik hatványa (pontosabban az értéke ahhoz az egész kitevőjű hatványhoz van a legközelebb), és mivel ezt az egészre lefelé kerekítésből kaptuk, ezért a szám 77+1=78 számjegyből áll.