Hogyan lehet kiszámolni, hogy egy függvény kölcsönösen egyértelmű?

Az jelenti, hogy különböző értelme zési tartománybeli elemekhez különböző elemeket rendel. Ez így lehet vizsgálni:

Ha a<> b, akkor

3a <> 3b

3a+1 <> 3b+1

f(a) <> f(b)

Ha nem kölcsönösen egyértelmű, akkor mutatsz egy értéket, amit legalább kétszer felvesz. Például az f(x)=x*x függvény esetén az 1-et az x=1 és az x=-1 helyen is felveszi, tehát nem lehet kölcsönösen egyértelmű.

Azt, hogy lehet „látni”, nem teljesen igaz. Lehet mondani olyan függvényt, amit te az életben nem fogsz tudni felrajzolni, mégis kölcsönösen egyértelmű lesz.

Bizonyos esetekben az biztosítja a kölcsönös egyértelműséget, hogy a függvény szigorúan monoton nő vagy csökken, például a te lineáris függvényedre is lehet azt mondani, hogy mivel szigorúan monoton nő, ezért pontról-pontra magasabb értéket vesz fel, így egy értéket egynél többször nem vesz fel, tehát biztosan kölcsönösen egyértelmű. Ez viszont csak egy elégséges, de nem szükséges feltétel, vagyis egy függvény attól még lehet kölcsönösen egyértelmű, hogy nem szigorúan monoton (illetve folytonos függvényekre szükséges és elégséges feltétel, vagyis csak úgy tud kölcsönösen egyértelmű lenni, hogyha szigorúan monoton nő vagy csökken).

Nagy általánosságban invertálással lehet kiszámolni, hogy kölcsönös egyértelműség van-e. Az invertálás azt jelenti, hogy a függvény helyének és értékének szerepét felcseréled, vagyis f(x)=y-ból valami g(y)=x függvényt csinálsz. Természetesen ez a függvény (már ha függvény) is felírható x->y relációban.

Röviden: csak annyi a dolgod, hogy az x és y betűket felcseréled, és az így kapott egyenletet y-ra rendezed. Ha az eredmény egy függvény, akkor valóban kölcsönösen egyértelműség van, ha nem, akkor nem. A te példádnál:

3x+1 = y, felcseréled a betűket:

3y+1 = x, kivonsz 1-et:

3y = x-1, végül osztasz 3-mal:

y = (1/3)x - 1/3, ez egy függvény, tehát kölcsönösen egyértelmű a függvényed.

Az én példámnál:

x*x = y, az x*x a hatványozás definíciója alapján felírható x^2 (x a második hatványon) alakban:

x^2 = y, felcseréljük a betűket

y^2 = x, gyököt vonunk

|y| = gyök(x), ennek megoldása

y = +- gyök(x), ez pedig nem egy függvény, mivel ugyanarra az x-re két értéket is felvesz (gyök(x)-et és -gyök(x)-et), egyedül x=0-ra veszi fel csak a 0-t, tehát abban az egy pontjában kölcsönösen egyértelmű, a többiben nem.