Valaki el tudná ezt magyarázni: Ha A=x-y, B=-x+y+1 és C=-x+y-1, számítsa ki az A-(B+C) értékét! Illetve ez milyen típusú feladat? Egyenlet? Ha igen, milyen egyenlet?

x-y-(-x+y+1+(-x+y-1))

Innen már csak össze kell vonni

Annyit kell csak csinálnod, hogy behelyettesítesz. Ha például az lenne, hogy A=5, akkor tudnád, hogy minden A helyére 5-öt kell írnod. Ugyanez a helyzet most is, csak nem egy darab szám az A értéke, hanem egy olyan, amiben vannak betűk is.

Ha megvagy a behelyettesítéssel, akkor csak el kell végezni a műveleteket a tanultak szerint (egyneműeket tudsz összevonni).

"számítsa ki az A-(B+C) értékét"

Ez nem egyenlet. Ez ugyanolyan feladat, mintha azt kérdezné valaki, hogy mennyi 1+1. Csak annyival bonyolultabb, hogy nem csak számok, hanem változók (konkrétan az x) is szerepelnek benne.

A kapott eredményt egyszerűbb formára kell hozni. A kulcsszó: polinomok rendezése. Az x-y-(-x+y+1+(-x+y-1)) egy nagyon egyszerű polinom, mert csak egy változó szerepel benne és az is csak az első hatványon.

A feladat, bár elsőre talán nem világos, ha nincs benne gyakorlatod, de két részből áll, egy behelyettesítésből és egy egyszerűsítésből. Utóbbival kezdem, ezért tegyük félre először az x, y dolgokat.

Ha konkrét számok lennének ott, teszem azt, 5-(2+3), akkor tudod, mit kell csinálnod, hogy egyszerűsödjön. Az A, B, C betűk az ilyen, úgynevezett *algebrai kifejezésekben* "ismeretleneket", "változókat", "határozatlanokat" jelölnek (ez a három szó körülbelül ugyanazt jelenti, az én személyes preferenciám általában a határozatlan felé húz, de valamikor indokoltabb az ismeretlen vagy változó elnevezés - egyébként nem kell ennek túl nagy jelentőséget tulajdonítani, ezek csak elnevezések).

Az A-(B+C) tehát egy *algebrai kifejezés*, melyben három határozatlan van. Amikor algebrai kifejezéseket látunk, akkor jellemzően egyszerűbb alakra akarjuk őket hozni. Ahogyan ha szükséged van 3 almára és a barátodnak szüksége van 4 almára, akkor a boltban nem 3+4 almát kérsz, hanem 7-et. Tehát a kimondatlan cél mindig az algebrai kifejezés lehető legegyszerűbb alakra hozása. Persze lehet azon vitatkozni, hogy mi a lehető legegyszerűbb, de azért van egy körülbelüli konszenzus: az úgynevezett *egynemű* *monomokat* összevonjuk.

Értsük ezt meg szépen. Mik a monomok? A monom egy olyan algebrai kifejezés, amiben nincs összeadás és kivonás, csak szorzás és hatványozás (ami amúgy is a szorzás egyszerűbben írása: A*A*A=A^3). (Most az osztásról feledkezzünk meg egyelőre, abban van egy kis csalafintaság. Egy olyan világban számolunk, ahol csak összeadni, kivonni és szorozni, utóbbinak megfelelően pozitív egész kitevővel hatványozni lehet.)

Tehát például A+B nem egy monom, de A*B egy monom, 2*A*B is egy monom, 3*A^2 is egy monom (a ^ utáni a kitevőben értendő, tehát 3*A^2 a "háromszor A négyzet-et" jelenti). A továbbiakban szorzásjelet nem mindig írom ki, tehát 3*A^2 helyett 3A^2-t, A*B helyett AB-t írok. Ebben az egyszerű világban (ahol tehát csak összeadás, kivonás, szorzás (hatványozás) van) minden algebrai kifejezés monomokból tevődik össze, azok összeadásával és kivonásával. Gondolhatsz a monomkra úgy, mint az algebrai kifejezések "atomjaira", ezekből épül fel az összes. Tehát például mondtam az előbb, hogy A+B nem egy monom. Valóban, van benne egy összeadás. De az igaz, hogy két monom összege, nevezetesen az A és B monomok összege. Hasonlóan például a B^2-4AC két monom különbsége, a B^2 és 4AC monomok különbsége. Természetesen akármilyen hosszan és bonyolultan lehet ezt csinálni, az A^3+B^3-C^2-AB például négy monomból tevődik össze. Minden monom olyan alakú, hogy egy "konkrét szám" szorozva egy határozatlanokból álló szorzattal (melyeket esetleg hatványalakban írunk, például a 3*A*A*B-t 3A^2B-nek, és az 1-es és -1-es szorzókat általában nem írjuk ki, 1A helyett A-t, -1A helyett -A-t írunk, ez alól nyilván kivétel a határozatlan nélküli monom (ennek a neve "konstans tag"), nyilván nem írhatunk A+1 helyett "A+"-t).

Most térjünk rá az egyneműségre. Két monom akkor egynemű, ha pontosan ugyanazok a határozatlanok szerepelnek bennük, pontosan ugyanolyan hatványon. Tehát csak a "konkrét szám" részben térnek el. Például 3AB és -AB egyneműek, mindkettőnek AB a határozatlan része, csak az egyiknél 3, a másiknál -1 szorzóval. Ennek eldöntésénél csak arra kell figyelni, hogy pofára eltérő monomok lehetnek egyneműek, például a fent említett 3AB és -AB-vel 5BA is egynemű (AB=BA). Hasonlóan A*A és 2A^2 is egynemű, hiszen az A*A ugyanaz, mint az A^2.

Tehát akkor most mindent átbeszéltünk, jöhet az egyszerűsítés: összegyűjtöd az egynemű monomokat, és azokat az előttük álló konkrét számok konkrét összeadásával-kivonásával összevonod. Tehát például az A^2-2A+5+A^2+2A+5 kifejezésben az előforduló "nemek" A^2, A és 1 (vagyis a konkrét számok, amik olyan monomok, melyekben egyáltalán nincs határozatlan, a konstans tagok). Nézzük sorba: A^2-ből van az elején 1 darab, később még 1 darab, az összesen 2, a végén tehát 2A^2 lesz. Ami az A-s tagokat illeti, van egy -2A és egy 2A, abból 0A lesz, amit megállapodás szerint le se kell írnunk (A egy határozatlan, de bármi is lenne az értéke, 0 darab belőle az 0), ami a konstansokat illeti, van benne egy 5-ös és még egy 5-ös, mindkettő + előjellel, tehát az 10. Összesen tehát az egyszerűsített alak 2A^2+10. Ha valakinek úgy van gusztusa, 10+2A^2-et is írhat, az ugyanolyan egyszerű. Ugyanígy az A+B-A egyszerűsítve B (a két A kiöli egymást, mivel ellentétes előjelűek).

Jöjjön a behelyettesítés, x, y. Algebrai kifejezésekbe be lehet helyettesíteni más algebrai kifejezéseket. Tehát például ott van neked a kezdeti A-(B+C), ezt nem igazán tudod egyszerűbb alakra hozni, esetleg A-B-C, de az is kb. ugyanolyan bonyolult. Ha az A helyére 5-öt, a B helyére 2-t, a C helyére 3-at helyettesítenél (tehát az A=5, B=2, C=3 helyettesítéssel élnél), akkor a kifejezésed értéke 5-(2+3)=0, avagy 5-2-3=0 lenne. Tiszta sor.

Ez eddig egyszerű. A kérdezett feladatban azonban olyan dolgokat írunk a határozatlanok helyére, amik maguk is határozatlanok: A=x-y, B=-x+y+1 és C=-x+y-1. Ekkor A-(B+C)=A-B-C=...

A helyére beírjuk az x-y-t

B helyére a -x+y+1-et (itt egy picit figyelni kell, ezt könnyű eltéveszteni, erre mindjárt adok egy tanácsot)

C helyére a -x+y-1-et.

Azt javaslom, hogy kezdetben minden behelyettesítés egy zárójellel szerepeljen, tehát

A-B-C=(x-y)-(-x+y+1)-(-x+y-1).

A zárójelek előtti mínuszokkal óvatosan szorozva

x-y+x-y-1+x-y+1.

Tehát itt tartunk. De hoppá! Noha a kezdeti A-B-C nem volt egyszerűsíthető, hiszen A, B, C három különnemű kifejezés, a helyettesítés után egy csomó egynemű kifejezésünk van, amiket össze lehet vonni: x-eket x-ekkel, y-okat y-okkal, konstans tagokat konstans tagokkal. Hajrá!

Remélem, ez érthető volt.

Egy személyes tanács, hogy ne nagyon szerelmesedj bele a varázsigékbe. (Igen, tudom, én is most nagyon sok konkrét szóhasználatot bevezettem, algebrai kifejezés, monom, egyneműség, konstans tag, stb., de ezek csak elnevezések.) Például mintha görcsösen szeretnéd tudni (a kérdésből és az egyik kommentedből látom), hogy akkor ez most, hogy akkor ez most egyenlet, vagy mi. De mindegy hogy egyenletnek hívjuk-e vagy nem, a fontos az, hogy tartalmában értsük, mi ez, és mit kell vele csinálni. (Egyébként nem, nem egyenlet, az alapobjektum egy algebrai kifejezés, a vele elvégzendő feladat egy behelyettesítés és az eredmény egyszerűbb alakra hozása. Egyenleten tipikusan azt értjük, amikor két algebrai kifejezést az egyenlőségjel kapcsol össze. Tehát felírjuk, hogy x+3, felírjuk, hogy 5-x, és ezeket összekötjük, hogy x+3=5-x, ezzel tipikusan az a feladat, hogy kitaláljuk, az x mely helyettesítési értékére fog fennállni. De nemcsak ilyen lehet az egyenlet, az (x+1)^2=x^2+2x+1 formula is egy egyenlet, de azt nem megoldani kell, mert ez egy azonosság, minden x-re fennáll.)