Hol található bizonyítás a következő vektoros tételre?

Az a+b+c összeg úgy is kijön, hogy (a+b)/2+(a+c)/2+(b+c)/2, az összeg tagjai pedig olyan vektorok, amik merőlegesen mutatnak az oldalak felezőpontjaiba, ami pedig azért lehet érdekes, mert a magasságpontot a magasságvonalak metszéspontja adja meg, amik szintén merőlegesek az oldalakra. Nem tudom, hogy ezzel lehet-e valamit kezdeni, de nekem ígéretes iránynak tűnik.

Egyébként ha a háromszög szabályos, vagy derékszögű, akkor az állítást elég könnyen be lehet látni.

Adott u, v vektorokra jelöljük (u,v)-vel a skaláris szorzatukat, melyet a következőképpen definiálunk: ha a közrezárt szögük alfa, akkor (u,v)=|u|*|v|*cos(alfa), ahol |u|, |v| az u és v vektorok hossza. A skaláris szorzat egyik jó tulajdonsága, hogy detektálja a merőlegességet, vagyis ha az u és v vektorok egyike sem 0, akkor pontosan akkor merőlegesek, ha a skaláris szorzatuk 0. Egy másik jó tulajdonság a bilinearitás, ezt most nem írom ki, mit jelent, majd a levezetésből világos lesz, mire fogjuk használni.

Legyen M az a pont, aminek a helyvektora a+b+c (a körülírt kör középpontjából). Bebizonyítjuk, hogy AM merőleges BC-re. Az AM vektor a+b+c-a=b+c, a BC vektor pedig c-b. A két vektor skalátis szorzata tehát (b+c,c-b), ami a bilinearitás miatt felbontható úgy, hogy (c,c)-(b,c)+(c,b)-(b,b)=(c,c)-(b,b)=|c|^2-|b|^2, ami pedig 0, hiszen |b|=|c|, mivel a körülírt kör középpontja az alappontunk. Tehát AM valóban merőleges BC-re. Ugyanígy BM merőleges CA-ra és CM merőleges AB-re, vagyis M a magasságpont.

[ma 16:33]-et írtam, egy másik, elemibb bizonyítás a következő.

Ismételten legyen M az a+b+c helyvektorú pont, célunk, hogy AM merőleges BC-re.

Jelöljük A'-vel azt pontot, melyet úgy kapunk, hogy a körülírt kör O középpontját tükrözzük a BC oldal felezőpontjára. Mivel OB=OC, OBA'C egy rombusz, és akkor világos, hogy egyrészt az A' helyvektora b+c, másrészt az OA' szakasz merőleges BC-re (a merőlegességben megengedve, hogy O=A', amikor, Thálesz-tétel, ABC olyan háromszög, melyben A-nál derékszög van). Toljuk el az OA' szakaszt az a vektorral. Ekkor O átmegy A-ba, A' pedig az a+b+c helyvektorú M pontba. Az eltolás miatt AM párhuzamos OA'-vel, tehát ahogyan OA', AM is merőleges BC-re. Ugyanígy BM merőleges CA-ra és CM merőleges AB-re, vagyis M a magasságpont.