Trigonometria??

Általában az arány független szokott lenni a konkrét adatoktól. Ha a háromszögben az egyik oldal x, akkor a másik mondjuk k*x, a harmadik pedig t*x lesz, és ha ezeket osztogatod egymással, akkor az x mindig ki fog esni, tehát konkrét számokat kapsz. Ezért is működik az, amit tanácsolnak, vagyis hogy valamelyik oldalt vedd egység hosszúnak, vagyis 1-nek.

Általában is igaz, hogy az ilyen derékszögű háromszöges példáknál érdemes az átfogót 1-nek venni. Ha az átfogót 1-nek vesszük, akkor a szinusz és a koszinusz definíciója szerint a 15°-os szöggel szemközti befogó hossza pontosan sin(15°) egység hosszú, a másik befogó pedig cos(15°) egység hosszú. Tehát az oldalak pontos aránya: a:b:c = sin(15°):cos(15°):1. Hogy ezek az arányszámok számszerűleg mennyiek, további számítást igényelnek.

A sin(15°) értéke pontosan kiszámolható a

sin(2x)=2*sin(x)*cos(x)

Addíciós tétel segítségével. Esetünkben x=15°, tehát

sin(30°) = 2*sin(15°)*cos(15°)

A sin(30°) pontos értékét tudjuk; 1/2, tehát

1/2 = 2*sin(15°)*cos(15°)

Ezt az egyenletet emeljük négyzetre, mindjárt látni fogjuk, hogy ez miért jó nekünk:

1/4 = 4 * sin^2(15°) * cos^2(15°)

Ismeretes az alábbi azonosság, tetszőleges x-re:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1, rendezés után

cos^2(x) = 1 - sin^2(x), ezt beírhatjuk cos^2(15°) helyére. Ezért volt érdekes négyzetre emelni:

1/4 = 4 * sin^2(15°) * (1 - sin^2(15°)). A jobb áttekinthetőség kedvéért a sin^2(15°)-ot cseréljük le egy betűre, mondjuk t-re:

1/4 = 4 * t * (1-t), ez pedig egy mezei másodfokú egyenlet, amit meg tudunk oldani;

t1 = (2-gyök(3))/4 és t2 = (2+gyök(3))/4. A t a sin^2(15°)-ot jelölte, tehát

sin^2(15°) = (2-gyök(3))/4, gyökvonás után

sin(15°) = +-gyök(2-gyök(3))/2, de tudjuk, hogy hegyesszög szinusza mindenképp pozitív, ezért csak a pozitív megoldással foglalkozunk, tehát sin(15°)=gyök(2-gyök(3))/2.

A másik egyenletből

sin^2(15°) = (2+gyök(3))/4, aminél szintén gyökvonás után

sin(15°) = +-gyök(2+gyök(3))/2, de itt is csak a pozitív lehet jó, így

sin(15°) = gyök(2+gyök(3))/2.

Ezzel a sin(15°)-ra két lehetséges értéket kaptunk, már csak azt kellene eldönteni, hogy melyik lehet a helyes.

Szerencsére, hogyha az eredeti egyenletben nem a sin(15°)-ra, hanem a cos(15°)-ra koncentrálnánk, akkor ugyanezt a (t-ben) másodfokú egyenletet kapnánk ugyanezekkel a megoldásokkal. Azt tudjuk, hogy sin(15°)<cos(15°), így pedig már el lehet dönteni, hogy kinek ki a párja;

sin(15°) = gyök(2-gyök(3))/2, és

cos(15°) = gyök(2+gyök(3))/2

Tehát a háromszögben az oldalak aránya:

a:b:c = gyök(2-gyök(3))/2 : gyök(2+gyök(3))/2 : 1, esetleg 2-vel lehet bővíteni:

a:b:c = gyök(2-gyök(3)) : gyök(2+gyök(3)) : 2.

De lehet, hogy csak annyi a feladat, hogy számold ki sin(15°) és cos(15°) értékét számológéppel, és arányítsd őket egymáshoz.