Valaki tudd segíteni a matek feladatomban? Pls Írjunk maximális felszínű egyenes hengert adott R sugarú: a)félgömbbe b)gömbbe

Érdemes a henger alaplapján található középponti szögből kiindulni; ez legyen x, ekkor máris meghatározható, hogy a henger magassága R*sin(x), sugara R*cos(x) nagyságú, ekkor a felszínt máris fel tudjuk írni x függvényében; A=2*(R*cos(x))^2*pi + 2*(R*cos(x))*pi*(R*sin(x)). Ennek keresed a maximumát, deriválással x szerint, mivel R egy fix szám, tehát konstans.

A b) feladat adná magát, hogy az előbbinek csak a kétszeresét.kell venni, azonban ez nem igaz; ha a gömbös példát visszavezetjük az a) feladatra (elfelezzük), akkor az egyik alaplap elvész, tehát abban a félgömbben az egyik oldalán nyitott hengernek a felszínét kell kiszámolnunk. Szerencére az csak annyiban változik, hogy a felszínképlet elejéről lekerül a 2-es szorzó, tehát A=(R*cos(x))^2*pi + 2*(R*cos(x))*pi*(R*sin(x)) lesz belőle, aminek a maximumát keressük.

Vagy a másik megoldás, hogy a henger alapkörének sugarát vagy a magasságát nevezed el x-nek. Ha a magasság az M=x (értelemszerűen 0<x<R), akkor felírható Pitagorasz tétele:

r^2 + x^2 = R^2, agol r az alapkör sugara. Rendezés után

r = gyök(R^2-x^2). Ennek megfelelően a felszín:

A = 2*r^2*pi + 2*r*pi*M = 2*gyök(R^2-x^2)^2*pi + 2*gyök(R^2-x^2)*pi*x, vagyis

A = 2*(R^2-x^2)*pi + 2*gyök(R^2-x^2)*pi*x, ezt kell deriválnod a maximumhoz. Ezt talán egy kicsit egyszerűbb deriválni és a deriváltjának a zéruhelyét megkeresni.

A b) feladatnál itt is csak annyi módosul, hogy az első 2-es lemarad;

A = (R^2-x^2)*pi + 2*gyök(R^2-x^2)*pi*x