X^2+10x+16 -> ezt hogyan tudom a leggyorsabban gyöktényezős alakra hozni?

Hát elkezdesz gondolkodni, előveszed a fejedben a gyökös/négyzetes azonosságokat. A példád vajon melyikre hasonlít? Hát arra, hogy

(a+b)² = a²+2ab+b²

x² ott álldogál magában, tehát biztos, hogy így kezdődik:

(X+...)²+c

2ab=10x, ezt hogy tudod kihozni, ha x-nek nincs együtthatója, akkor vajon mi lesz a b? Baromi egyszerű, b=5

Na így meg is van a zárójelen belüli rész:

(x+5)²

Na de ha ezt kibontod, akkor ezt kapod:

x²+10x+25

Úgyhogy az egészből még ki kell vonnod 9-et:

(x+5)²-9 = x²+10x+16

(Remélem, ez volt a kérdésed, 20 éve érettségiztem, nem emlékszem pontosan, hogy mi a "gyöktényezős alak" definíciója.)

x^2+2x+8x+16=x(x+2)+8(x+2)=(x+2)(x+8)

csoportosításos kiemelés)

Ez se annyira nehéz.

x²-tel kezdődik a dolog, amit csak úgy kaphatsz meg, ha x-et önmagával szorzod meg, úgyhogy ez biztos:

(x+...)×(x+...)

16-tal végződik, ezt hogy tudod felbontani szorzatalakba?

4x4 vagy 2×8

Behelyettesíted:

(x+4)(x+4)= x²+8x+16, na ez nem jó

(x+2)(x+8)=x²+8x+2x+16= x²+10x+16 ez lesz az

Át kell alakítani úgy, hogy szorzat legyen.

Mivel x^2 tagod van, így el lehet kezdeni pl így

(x±valami)(x±másvalami)=x^2± a többi

Most nézd meg a konstans tagot, ez itt 16, ez két szám szorzataként fog kijönni. Tehát lehet 1*16,2*8,3*6 vagy 4*4.

Azt is tudjuk, hogy ebben a formában 2db x-es tag keletkezik beszorzás után, itt a feladatban pedig 10x kell kijöjjön. Ez csak úgy lehet, hogy 2+8 a két szám. Tehát a kérdésben szereplő kifejezést fel lehet írni úgy, hogy (x+2)(x+8).

Ebből látszik, hogy a két gyök -2 és -8.

Kérdező, mi bajod van azzal, hogy először kiszámolod a gyököket, és aszerint írod fel? Miért akarsz ennél gyorsabb megoldást?

Csak azért kérdezem, mert a mindenféle „okos” megoldások csak akkor működnek, hogyha a megoldások racionálisak. Például egy x^2+3x-1 polinomnak a gyöktényezős alakját az életben nem fogod kiokoskodni, mert két irracionális gyöke van. Arról nem beszélve, hogy vannak olyan másodfokú kifejezések, amelyeknek nincs (valós) gyökük, így (valós) gyöktényezős alakjuk nem létezik.

Ha az egyik gyök egész, akkor az több módon is hamar megtalálható; a legegyszerűbb észrevétel az, hogy az x osztója kell, hogy legyen a konstans együtthatónak, esetedben az x osztója kell, hogy legyen a 16-nak, tehát x lehetséges értékei: +-1, +-2, +-4, +-8, +-16, de nyilván pozitív most nem lehet, így csak a negatívak jöhetnek számításba. Kis utánaszámolás után rájössz, hogy (-2) jó lesz, tehát (x+2)*(x+valami) alakban fel tudod írni. Ha ezt a zárójelet felbontanád, akkor a 2*valami értéke 16 kellene, hogy legyen, tehát a valami értéke 8 lesz, tehát (x+2)*(x+8) jön ki, zárójelbontással tudsz ellenőrizni.

A tanár valószínűleg a teljes négyzetes alakból való kiszámolást várja el; a második válaszoló válasza szernt átírod (x+5)^2-9 alakra. Ebben az alakban tudod használni az a^2-b^2=(a+b)*(a-b) azonosságot, tehát ezt kapod: (x+5-3)*(x+5+3), vagyis (x+2)*(x+8). De ez is csak akkor tud „szépen” működni, hogyha a kivonó szám egy racionális szám négyzete (esetünkben a 9 négyzete a 3-nak, de ha ott 9 helyett 8 lenne, akkor gyök(8)-cal kellne számolni, amit legjobb esetben is csak kerekíteni tudsz). De mivel ez a módszer gyakorlatilag megfelel a másodfokú egyenlet megoldóképlet bizonyítási lépéseinek, ezért bőven elég, hogyha a megoldóképletet használod, és abból írod fel a gyöktényezős alakot.