Elmagyaráznátok a mértani illetve számtani sorozatok összetett feladatainak megoldását?

1. A háromjegyű szám első számjegye legyen a, a kvóciens q, így a második számjegy a*q, a harmadik számjegy kétféleképpen felírható; egyrészt a*q^2, másrészt 13-(a+a*q), mivel csak így lehet a számjegyek összege 13. A kéféle felírással ugyanazt a számot kell kapnunk, tehát

a*q^2 = 13-(a+a*q), ez lesz az első egyenletünk.

A feladat szerint ha 4-et levonunk, akor a kapott számjegyek számtani sorozatot alkotnak. A kivonás miatt kétféle lehetőség van; vagy nincs maradékátvitel, vagy a maradékátvitelnél "átfordul" az utolsó számjegy, a középsőből pedig egyet le kell vonni.

Ha nincs maradékátvitel, akkor szimplán 13-(a+a*q)-4 = 9-(a+a*q) lesz belőle, tehát a három szám:

a ; a*q ; 9-(a+a*q)

Ezek számtani soorzatot alkotnak. A számtani sorozatban a szomszédos tagok különbsége állandó, tehát:

a*q - a = 9-(a+a*q)-a*q

A két egyenlet egyenletrendszert alkot:

a*q^2 = 13-(a+a*q) }

a*q - a = 9-(a+a*q)-a*q }

Érdemesebb a második egyenletből kiindulni;

a*q - a = 9-(a+a*q)-a*q, kibontjuk a zárójelet:

a*q - a = 9-a-a*q-a*q, a 9-et kivéve mindenkit pakoljunk át a bal oldalra:

3*a*q = 9, osztunk 3-mal:

a*q = 3, a-ra rendezve

a = 3/q, ezt beírjuk az első egyenletbe:

(3/q)*q^2 = 13-( 3/q + 3/q * q), összevonások után

3q = 13 - 3/q - 3, szorzunk q-val:

3q^2 = 13q -3 -3q, ez pedig egy másodfokú egyenlet,aminek két megoldása van: q=3 és q=1/3

Ha q=3, akkor a=3/3 = 1, tehát a három számjegy: 1;3;9, tehát a szám a 139, ebből le tudunk vonni 4-et gond nélkül.

Ha q=1/3, akkor a=3/(1/3)=9, tehát a három számjegy: 9;3;1, tehát a szám 931, ebből viszont nem tudunk úgy 4-et kivonni, hogy csak az urolsó számjegy változik, tehát ez nem megoldás.

A másik eset, amikor átvitellel kell számolni, például 61-4=57. Általánosan felírva a kivonást úgy tudjuk elvégezni, hogy az első tagot két részre bontjuk, így a 61-ből 50+11 lesz, és ebből már ki tudunk 4-et vonni, így 50+7 lesz belőle. Esetünkben akkor azt tudjuk csinálni, hogy az utolsó számjegyet 10-zel növeljük és abból vonunk ki, a középső tagot pedig 10-zel, illetve 1-gyel csökketjük. Ennek megfelelően a számjegyek;

a ; a*q-1 ; 10+(13-a-a*q)-4 = 19-a-a*q, és itt is igaz, hogy a szomszédosak különbsége aznos, tehát

a*q-1 - a = 19-a-a*q - (a*q-1), tehát itt is megvan a két egyenlet:

a*q^2 = 13-(a+a*q) }

a*q-1 - a = 19-a-a*q - (a*q-1) }

Itt is érdemesebb a második egyenletből kiindulni. Rendezés után:

3*a*q = 21, osztunk 3-mal:

a*q = 7, itt is a-ra rendezünk:

a = 7/q, ezt beírva az első egyenletbe:

(7/q)*q^2 = 13-( (7/q) +(7/q)*q), és ebből is egy másodfokú egyenlet lesz, aminek viszont nincs valós megoldása.

Tehát a feladatnak csak egy szám felel meg, a 139.

2. Ennél érdemes a feltételeket felírni matematikaiag;

Arra emlékszik, hogy az első 3 szám számtani (sorozatot): a ; a+d ; a+2d

de az utolsó három mértani sorozatot alkot: a+d ; a+2d ; k*(a+2d)/(a+d)

A középső két szám összege egyenlő az első számmal: a+d + a+2d = a

és az utolsó két szám összege feleakkora, mint az első számjegy: a/2 = a+2d + k*(a+2d)/(a+d)

A harmadik egyenletből el tudunk indulni;

a+d + a+2d = a, rendezés után

3d = a

Mivel 0<=a<=9, ezért 0<=3d<=9, vagyis 0<=d<=3, tehát eszerint lehet "próbálgatni";

-Ha d=0, akkor a=0, így a számok: 0 ; 0 ; 0 ; 0, ez a számsor teljesen megfelel a feltételeknek.

-Ha d=1, akkor a=3, így a számok: 3 ; 4 ; 5 ; x, az utolsó kettő összege feleakkora, mint az első, tehát 3/2 = 5+x, ennek negatív a megoldása, ami nem jó.

-Ha d=2, akkor a=6, így a számok: 6 ; 8 ; 10, ez már nem lesz jó.

-Ha d=3, akkor a=9, ez meg pláne nem.

Tehát a PIN-kód: 0000.