Tudnátok segíteni a következő matematikai feladatokban?

4. Mivel mindkét függény a valós számok legbővebb részhalmazán van értelmezve, ezért csak a behelyettesítés után kapott függvények értelmezési tartományát kell felírni, ahogy szoktuk;

lg(1/x^2) esetén csak az x=/=0 esetén lehetnek problémák, ezt halmazelméletileg így tudod felírni: R\{0}.

Az 1/(lg(x))^2 esetén x>0 alapvető, gondolom ezt te is látod. Ezen kívül a nevező nem lehet 0, tehát lg(x)^2=/=0, ennek eredménye x=/=1, halmazelméletileg így írható fel; R+\{1}.

A harmadiknál szimplán x=/=0. Ennek a feladatnak az érdekessége az, hogy végeredményül az x^4 függvényt kellett volna kapnod, azonban az x^4 függvény értelmezési tartománya R, viszont amiből ezt kaptad eredménynek, annak nem minden valós szám az értelmezési tartománya. Ezért írtam azt fent, hogy a behelyettesítés után kapott függvényre kell vizsgálni minden esetben az értelmezési tartományt, nem pedig az átalakítások után végeredményül kapottra.

Az ilyen jellegű határértékeknél mindig erre kell asszociálni;

lim(1+1/n)^n = e, ahol e az Euler-féle szám.

n->+-végtelen

Ezt a határértéket a következő módon érdemes értelmezni; ha ugyanaz a végtelenben +-végtelenbe tartó sorozat (később pedig a függvényeknél az adott pontban +-végtelenbe tartó függvény) áll a tört nevezőjében és a kitevőben, akkor a határérték minden esetben e lesz. Például

lim (1+1/((lg(n^n)+n!)))^(lg(n^n)+n!)

n->végtelen

határérték is e-hez fog tartani, mivel a nevezőben és a kitevőben ugyanaz a végtelenbe tartó kifejezés szerepel.

Ami még ide tartozik, de félig-meddig trivialitása miatt nem szokták külön tárgyalni, az a tetszőleges a(n) sorozatra

lim((1+1/n)^n)^a(n) = e^(lim a(n))

n->végtelen

Magyarán ha az e-hez tartó sorozat valami másik sorozattal van hatványozva, akkor a kitevőben lévő sorozat határértékét kell vennünk, és azzal hatványozni az e számot.

Ha ezeket meg tudtuk érteni, akkor ennek a feladatnak is neki tudunk látni. A cél az, hogy a megfelelő alakú határértékeket kapjuk;

((3n+5)/(3n-4))^(2n)

Először végezzük el a polinomosztást;

(1 + 9/(3n-4))^(2n)

Az alapban a tört 1/valami alakú kell, hogy legyen, ezért a törtet egyszerűsítjük 9-cel;

(1 + 1/((3n-4)/9))^(2n)

Most a nevezőben (3n-4)/9 van. Addig kellene sakkoznunk, amíg ez a kitevőben nem jelenik meg. Mivel a tanultak szerint hatvány hatványozásakor a kitevők összeszorozhatóak, ezért csak szorozni és osztani szabad. Most külön kiírom a kitevő átalakításait; igazából nincs nagy varázslat, csak a nevezőben lévő kifejezéssel szorzunk és osztunk;

2n = 2n*((3n-4)/9) / ((3n-4)/9), tehát a kifejezésünk:

(1 + 1/((3n-4)/9))^(2n*((3n-4)/9) / ((3n-4)/9)), amit a hatványozás azonosságai szerint így tudunk felírni:

[(1 + 1/((3n-4)/9))^((3n-4)/9)]^(2n/((3n-4)/9))

A szögletes zárójelben a hőn áhított alakú határérték van, ami a fentiek értelmében e-hez tart. A kitevőben lévő sorozat határértékét még külön ki kell számolnunk, ami ránézésre 6 lesz, tehát az eredeti sorozat határértéke a végtelenben e^6 lesz. Érdemes ellenőriztetni például a WolframAlphával;

[link]

A többi feladatnál jól számoltál.