Az ABC háromszögben AB=1cm, alfa=45,gamma=15. Forgassuk meg a háromszöget a térben az AB egyenese körül. Számítsuk ki a háromszög által leírt forgástest felszínét és térfogatát?

Érdemes egy ábrát készíteni a továbbhaladáshoz. A kapott test mindenképp valami kúpszerű test lesz, ezért érdemes tudni a kúppal kapcsolatos képleteket;

Kúp térfogata: r^2*pi*M/3, ahol r a kúp alapkörének sugara, M a test magassága.

A kúp alapkörének területe: r^2*pi

A kúp palástjának területe: r*pi*a, ahol r az alapkör sugara, a pedig az alkotója (ami a kúp csúcsát köti össze az alaplap kerületének pontjaival)

A háromszög belső szögeinek összege midig 180°, emiatt a háromszög harmadik szöge (ami a B csúcsnál van) 120°-os, tehát egy derékszögű háromszögünk van. Ha ezt a háromszöget megforgatjuk az AB oldal, mint tengely körül, akkor egy olyan testet kapunk, amit egyébként úgy kapnánk meg, hogy egy forgáskúpból kivágnánk egy másik forgáskúpot. Emiatt a térfogatot úgy fogjuk megkapni, hogy ennek a kér forgáskúpnak a térfogatát kivonjuk egymásból. A felszín esetén azt vehetjük észre, hogy két részből tevődik össze; az egyik rész a nagyobbik kúp palástja, a másik rész pedig a kisebbik kúpé. Tehát amire szükségünk van;

-A nagy kúp magassága,

-A kis kúp magassága,

-A két kúp közös alaplapjának sugara,

-Valamint mindkét kúp alkotójára.

-A nagy kúp alkotója: a háromszög AC oldala, ezt egy egyszerű szinusztétellel ki tudjuk számolni;

sin(120°)/sin(15°) = AC/1, ennek megoldása AC =~ 3,346 cm.

-A kis kúp alkotója: ez a BC oldal lesz. Ahogy az előbb, itt is mehet a szinusztétel;

sin(45°)/sin(15°) = BC/1, erre BC =~ 2,732 cm adódik.

-A közös alapkörök sugara: ez nem más, mint a C csúcsból induló, az AB-re merőleges magasság. Mivel toompaszögű háromszögről van szó, ezért a magasság a háromszögön kívülre esik, így hosszabbítsuk meg az AB oldalt a megfelelő irányba. A magasság és az AB oldal meghosszíbbatásának metszéspontja legyen D, ekkor az ábrán keletkezik egy BCD derékszögű háromszög, amelyről tudjuk, hogy a B-nél fekvő belső szöge 60°-os. Mivel az átfogója ismert (BC = 2,732 cm), ezért egyszerűen számolhatunk a 60°-os szög szinuszával;

sin(60°) = CD/2,732, ennek megoldása CD =~ 2,366 cm, ez lesz a közös alapkörök sugara.

-A kis kúp testmagassága: ez a BD oldal, ami az előbbi BCD derékszögű háromszög másik befogója, amiben lehet a szinusszal számolni;

cos(60°) = BD/2,732, ennek pedig BD = 1,366 cm, enni lesz a kisebbik kúp testmagassága.

-A nagyobbik kúp testmagassága: az ábrából kiolvasható, hogy 1,366 + 1 = 2,366 cm hosszú lesz.

Így már minden adott, hogy kiszámoljuk a keletkezett forgástest felszínét és térfogatát. Megpróbálod innen befejezni?