Segítene valaki kérem ebben a kombinatorika feladatban?

1.

Ha simán sorba állnak, akkor gondolom, tudod a választ.

Utána képeznek egy kört. És mivel a körök egyformák, akkor is, ha elfordulnak, az esetek száma annyiszor csökken, ahány elfordulási lehetőség van.

Vagy a legnagyobb óvodást fixen kijelöljük kezdőelemnek és a többiek mögé sorakoznak ahányféleképpen tudnak. Utána bezárják a kört. Akkor a kör elkezdhet forogni, hogy a kezdő óvodás minden pozicióba bekerüljön, mintha őt is választottuk volna. Ezzel minden sorrend előáll, vagyis a megoldásunk teljes. De a forgással új megoldások nem születnek, mert a kör ugyanaz marad.

2.

Álljanak fel az óvodások az előbbi módon egy körbe. Ezt a kört két helyen el kell vágni és összezárni, hogy két kör legyen. Legyen az egyik vágási pont fixen a legnagyobb óvodás bal kezénél. A másik pont meg bárhol, ahol kezek találkoznak. Az így keletkezett esetek mind különböző két kört eredményeznek a gyerekek elosztását és sorrendjét illetően. Ha a köröket nem különböztetjük meg, akkor 2-vel kell osztani, mert ugynaz a megoldás kétféleképpen is előállhat.

Az n-1 és n-2 kör egyszerű, ha átgondolod, hogy ezek mit jelentenek a gyakorlatban.

Nagyon nincs erre megoldás, az eseteket külön-külön össze kell szednünk;

1 körös megoldás: minden gyerek a körben van: 4!/4=3!=6.

2 körös megoldás:

1-3: felírhatjuk ezt a jelsort: _ | _ _ _, a _ helyekre a gyerekeket 4*3*2*1=24-féleképpen tudjuk felírni, viszont a 3 gyerek körben áll, tehát osztunk 3-mal, így 24/3=8-féle felállást kapunk.

2-2: _ _ | _ _, hasonlóan a fentihez, a gyerekeket 4*3*2*1=24-féleképpen tudjuk felírni a körökben a megszokott módon osztanunk kell 2-vel és 2-vel, így 24/2/2=6-féle lehetőséget kapunk. Viszont a körök szimmetriája miatt (az AB|CD és a CD|AB ugyanazt a felállást jelöli) osztanunk kell azok sorrendiségével, ami 2!=2, tehát további 2-vel osztva 6/2=3 lehetőséget kapunk.

3 körös megoldás:

1-1-2: _ | _ | _ _, vagyis 4*3*2*1=24, ezt osztjuk 2-vel a kéthosszú kör miatt, így 24/2=12, végül pedig a két 1-es kör sorrendje miatt osztunk 2!=2-vel, így 12/2=6 lehetőséget kapunk.

4 körös megoldás:

1-1-1-1: _ | _ | _ | _, a fentiek szerint 4*3*2*1=24, ezt osztjuk a körök sorrendiségével, vagyis 4!=24-gyel, így 24/24=1-et kapunk (amit egyébként számolás nélkül is tudtunk volna).

Ezeket összeadva kapjuk a lehetőségek számát; 8+3+6+1 = 18, tehát a gyerekek 18-féleképpen tudnak szétosztódni.

Látható a számolások többrétűségéből, hogy n gyerekre nem lehet általános megoldást adni (legalábbis egykönnyen nem).

"Nagyon nincs erre megoldás, az eseteket külön-külön össze kell szednünk;"

Az amiket én írtam két körre, nem szedi külön az eseteket és n-re is működik. Szerinted nem jó?

Az 1-es feladat sehol nem írja, hogy két kört alakítanak ki. Sőt, a feladat azt is írja, hogy 1 gyerek önmagában is tud kört kialakítani.

"És mivel a körök egyformák, [...]"

Nem látom a feladatban, hogy ugyanakkora köröket alakítanának ki.

Lehet, hogy én értem félre a feladatot, de a levezetésemből egyértelműen látszik, hogy én hogyan értelmeztem.

Igazad van. Felületesen olvastam az első feladatot. Az én 1-es megoldásom csak egy körre szól. Amint olvastam, hogy óvodások meg körjáték, rögtön megjelent előttem, hogy simán körbe állnak. És már a megoldással foglalkoztam.

Akkor még gondolkodom az n-es eseten.