Jó napot! Ezt a feladatot kérem segítene valaki megoldani?

Tegyük fel indirekt, hogy az állítás nem igaz, így arra törekszünk, hogy ellenpéldát találjunk.

Első körben arra érdemes rájönni, hogy ha két számnak ugyanaz a 4040-es maradéka (más szóval: ugyanabban a maradékosztályba esnek), akkor különbségük osztható lesz 4040-nel, mivel a számok kivonásakor a maradékok eltűntetik egymást.

Ennek megfelelően a skatulya-elvvel számolunk tovább; a skatulyákat ezek a maradékosztályok fogják adni. Összesen 4040 darab skatulyánk lesz, mivel a számok 0-tól 4039-ig adhatnak maradékot. Azt az előbb megállapítottuk, hogy ha két szám valamelyik skatulyába kerül, akkor azok különbsége osztható lesz 4040-nel, így úgy kellene feltöltenünk ezeket a skatulyákat, hogy mindegyikbe csak 1 kerüljön. VISZONT ha a maradékok összege osztható 4040-nel, akkor az összeg is osztható lesz 4040-nel, tehát akárhogyan nem tölthetjük fel a skatulyákat. Például ha egy számot az 1-es maradékú skatulyába teszünk, akkor a 4039-esbe nem tehetünk, mert akkor azok összege osztható lesz 4040-nel. Mindegyik skatulyának megvan az ilyen párja, kivéve a 0-st és a 2020-ast, mert azoknak a párja önmaguk. Ha ebbe a két skatulyába teszünk számot, akkor marad 4038 skatulya, amiknek csak a felébe tehetünk számot, tehát 2019 számot tudunk elhelyezni ezekbe, az előbbi 2-vel együtt pedig 2021 számnak tudunk legfeljebb helyet biztosítani úgy, hogy a számok összege ne legyen osztható 4040-nel. Viszont nekünk 2022 számunk van, ami ellentmondás, tehát az indirekt állítás hamis, vagyis az eredeti állítás igaz, így bárhogyan választunk ki 4040 darab egész számot, azok közül valamelyik kettőnek biztosan az összege és/vagy a különbsége osztható lesz 4040-nel.