Öt törpe öt különböző színű sapkát hordott.Két törpe sapkát cserél egymással, ezután megint két törpe sapkát cserél, majd megint.Hányféleképpen történhetett meg ez a folyamat, ha tudjuk hogy a végén egyik törpe sem viselte az eredeti sapkáját?

A cserebere után megkérjük a törpéket, hogy mindenki nézzen a saját sapkáját viselő emberre. Kis meggondolás után kétféle eset történhet;

1. eset: két törpe egymást nézi, a másik három „körbenézik” egymást, eszerint lehet őket két csoportra osztani.

Az első két helyre (5*4)/2=10-féleképpen lehet elhelyezni a törpéket, a másik három helyre a maradékot 1-féleképpen. A két fős csoportban egyféleképpen tudtak cserélni, a háromfősben kétféleképpen, így 10*1*2*1=20 esetben történik meg ez a felállás.

2. eset: a nézéssel egy kört kapunk. A tanultak szerint az 5 törpe (5-1)!=4!=24-féleképpen állhatnak fel.

Tehát 20+22=42-féle kimenetele lehet a cserélgetésnek.

Igen, azt elírtam, 44.

Pedig jónak kellene lennie. Te tudod, hogy minek kell kijönnie?

"Hányféleképpen történhetett meg ez a folyamat,"

Két folyamat akkor különböző, ha bármelyik cserében nem ugyanaz a két törpe vesz részt. A törpék neve A,B,C,D,E

Osszuk csoportokba (tipusokba) a folyamatokat aszerint, hogy az n-edik cserében résztvevő törpék előtte melyik cserében vettek részt. Legyen N annak a a törpének a betüjele, aki még előtte nem cserélt. C1 és C2 annak aki az első vagy második alkalommal cserélt.

Az első csere csak (N,N) lehet.

Az első kettő (N,N)+(N,N) vagy (N,N)+(C1,N).

A három cserés folyamatok tipusokba osztva:

(N,N)+(N,N)+(C1,N) pl. (A,B)+(C,D)+(A,E)

(N,N)+(N,N)+(C2,N) pl. (A,B)+(C,D)+(C,E)

(N,N)+(C1,N)+(N,N) pl. (A,B)+(A,C)+(D,E)

Összesen 6 sapkát vesznek le fejről. Minden törpének legalább egyszer cserélni kell, ezért csak egy törpe cserélhet kétszer. Ennek alapján a fenti tipusok minden esetet lefednek.

És most nézzük meg, hogy hányféleképpen tudunk törpéket választani az egyes tipusokhoz:

(N,N)+(N,N)+(C1,N) (5*4/2)*(3*2/2)*(1*2)=10*3*2=60

(N,N)+(N,N)+(C2,N) (5*4/2)+(3*2/2)+(1*2)=10*3*2=60

(N,N)+(C1,N)+(N,N) (5*4/2)+(2*3)+(2*1/2)=10*6*1=60

Összesen 180 különböző folyamat.

Vagy.

Összesen 6 sapkát vesznek le fejről. Minden törpének legalább egyszer cserélni kell, ezért csak egy törpe cserélhet kétszer.

Kiválasztjuk azt a törpét, aki kétszer cserél:5 eset.

Kiválasztjuk azt a két cserét, amiben részt vesz:3 eset

A maradék 4 cserehelyre elosztjuk a többi 4 törpét. 4! de az egyik cserében felcserélhető a sorrend: 4!/2=12

5*3*12=180.

Az első 4 hozzászólásban az volt megtárgyalva, hogy hányféle végeredmény jöhet ki. Ami szerintem nem egyenlő a folyamatok számával, de azt is kiszámolom.

5 féleképpen lehet kiválasztani a törpét, aki kétszer cserél sapkát. 4 féleképpen azt, aki a végén az ő sapkáját viseli és 3 féleképpen azt, akitől végül ő kapja a sapkát. Ez a hármas csoport zárt a sapkák cseréjét illetően. A maradék két ember sapkát cserél, ott csak 1 eset van.

Nézzük meg, hogy a hármas csoport egy végállapota egy- vagy többféle módon hozható-e létre. "A" a kétszercserélő. "B"-nek adja a sapkáját és "C"-től kap sapkát. Vagyis körbeállnak és pl. az óramutató járásának megfelelően átadják a sapkájukat. Ez 3 eljárásban azonos eredményt mutat. Össesítve: a lehetséges végeredmények száma=5*4*3/3=20.

Az 1-4 hozzászólásokban azért jött ki több, mert ott olyanok is be lettek számítva, ahol 5 ember körbeadja a sapkát. De ez 3 cseréből nem lehetséges.