Mértani sorozat bizonyítása?

Teljes indukció.

1. Kell, hogy legyen egy feltételezésed, amit bizonyítani akarsz: a(n)=a(1)*q^(n-1)

2. Bizonyítsd, hogy igaz az első elemre:a(1)=a(1)*q^(0)=a(1)

3. Ha az n-1-edik elemre igaz, akkor be lehet bizonyítani, hogy az n-edik elemre is igaz. Feltételeztük, hogy a(n-1)=a(1)*q^(n-2).

Szorozzunk q-val: a(n-1)*q=a(1)*q^(n-1)

Tudjuk, hogy a mértani sorozat definíciója az hogy a következő elemet szorzással kapjuk meg, azaz a(n)=a(n-1)*q. Ezt beírva az előző képlet bal oldalára bizonyítotuk a 3. állítást.

Egyébként ennek a bizonyításához nem is kell teljes indukció.

a(n)=a(n-1)q=(a(n-2)q)q=...=((...(a(1)q)q)q)...q)q = a(1)q^(n-1)

Az indukciós feltevés megléte mindenképp fontos a bizonyításhoz, mert előfordulhat, hogy olyat bizonyítunk, ami nincs is. Az indukció lényege, hogy egy tulajdonság tagról-tagra "öröklődik", de ha nincs, ami öröklődjön, akkor téves eredményre juthatunk.

Például bizonyítsuk be teljes indukcióval, hogy tetszőleges pozitív egész n-re 3 | 7^n, vagyis a 3 osztója a 7 pozitív egész kitevőjű hatványának.

Most ugorjuk át az indukciós feltevés vizsgálatát, és tegyük fel, hogy n-ig igaz, vagyis 3 | 7^n igaz. Nézzük, hogy (n+1)-re mi a helyzet, vagyis igaz-e, hogy:

3 | 7^(n+1)

A hatványozás azonosságai szerint 7^(n+1) = 7*7^n, tehát:

3 | 7*7^n

A korábbiakból tudjuk, hogy ha egy szorzat valamelyik tényezője osztható egy számmal, akkor az egész szorzat is osztható lesz, már pedig az indukciós feltevés alapján 3 | 7^n, tehát ez is igaz lesz, tehát készen vagyunk a bizonyítással.

A gond csak az, hogy nem létezik olyan n, amire az állítás igaz lenne, tehát a megfelelő tulajdonság sem tud honnan öröklődni. Ezért szükséges, hogy az indukciós feltevésre legyen (legalább) egy konkrét példa.

Igen. De olyan példa is lehet, ami mondjuk csak n=100-tól „indul be”. Ezért nekünk mindenképp szükségünk van egy kiindulópontra.

Sőt olyan példát is láttam már (a konkrét példára nem emlékszem), hogy például n=6-tól lehetett teljes indukcióval bizonyítani, a 6-nál kisebb n-ekre pedig manuálisan kellett megnézni, hogy az állítás igaz.

De az is lehet, hogy „több szálon fut” a bizonyítás, például van egy sorozatunk, a páros n-ekre máshogyan viselkedik, mint páratlanokra, ott például nem (n+1)-re tudjuk az öröklést bizonyítani, hanem (n+2)-re.