A 10 × 10-es négyzet lefödhetö-e 1 × 4-es téglalapokkal?Ha igen, akkor hogyan?

Nem lehet.

Tegyük fel, hogy lehet: ekkor minden sorban páros sok függőleges téglalap van (halad át), tehát páros sok függőleges téglalapot használtunk fel. A függőleges száma = 25 - vízszintesek száma, vagyis páratlan szám. Most forgassuk el a négyzetet 90°-kal, függőlegesből vízszintes lesz, a vízszintesből függőleges. Erre is érvényesenk kell lennie az előző gondolatmenetnek, de a paritások megváltoztak, ami ellentmondáshoz vezet.

"A 10 × 10-es négyzet lefödhetö-e 1 × 4-es téglalapokkal?"

Nem.

Fessük be a terület 2*2-es négyzetenként feketére és fehérre, mint ag sakk táblát. 25 kis négyzetünk lesz, az egyik színből 12, a másikból 13.

Rakjunk fel erre egy 4*1-es téglalapot és fessük be a négyzeteit az alatta levő szinekkel. Vagy úgy tudjuk lerakni, hogy 2-2 szín lesz egymás mellett vagy 1-2-1. De mindeképpen 2 fehér és 2 fekete.

Ha ki tudnánk tölteni a 10*10-est téglalpokkal, akkor 50 fehér és 50 fekete kisnégyzet lenne, míg a 2*2-es négyzeteknél 48 és 52 a színek aránya.

"Tegyük fel, hogy lehet: ekkor minden sorban páros sok függőleges téglalap van (halad át), tehát páros sok függőleges téglalapot használtunk fel. A függőleges száma = 25 - vízszintesek száma, vagyis páratlan szám."

Ha minden sorban páros sok téglalap van, akkor a számuk miért páratlan a következő mondatban?

És az is gond, hogy minden függőleges téglalap 4 sorban szerepel. Tehát négyszer számoljuk meg őket. Ha csak ennyit tudunk, akkor ettől páratlan számú valami is kielégítheti, hogy minden sorban párosszor szerepeljen.

3: Felcseréltem a nagy sietségben. Nem lehet a függőleges páratlan, haladj fölfelé soronként.

Helyesen:

Tegyük fel, hogy lehet: ekkor minden sorban páros sok függőleges téglalap van (halad át), tehát páros sok függőleges téglalapot használtunk fel. A vízszintesek száma = 25 - függőlegesek száma, vagyis páratlan szám. Most forgassuk el a négyzetet 90°-kal, függőlegesből vízszintes lesz, a vízszintesből függőleges. Erre is érvényesenk kell lennie az előző gondolatmenetnek, de a paritások megváltoztak, ami ellentmondáshoz vezet.

"Tegyük fel, hogy lehet: ekkor minden sorban páros sok függőleges téglalap van (halad át), tehát páros sok függőleges téglalapot használtunk fel."

Ezzel továbra is baj van.

Ugye itt csak annyit használunk fel, hogy bizonyos valamiket több csoportra osztva megszámolunk. És minden csoportban páros eredményt kapunk. És a valamik átmászkálhatnak egy másik csoportba, de úgy hogy pontosan négyszer legyenek megszámolva. Ebből nem következik, hogy a valamik száma páros.

Akkor mondok egy ellenpéldát:

- van 5 "valamink": az A-k, a B-k, a C-k, a D-k és az E-k. Mindegyik 4 egyenértékű elemből áll

- 5 csoportba oszlanak

- az 1. csoport: ACDE

- a 2. csoport: ABDE

- a 3. csoport: ABCD

- a 4. csoport: ABCE

- az 5. csoport: BCDE

Minden csoportban páros számú "valami" van, ezért a Te tételed szerint a "valamik" száma is páros.

"Gondold át, haladj soronként fölfelé, számolgass."

Ez volna a tételed bizonyítása?

"Nem általánosságban igaz az, amit mondtam, hanem erre az esetre."

Ha nem általános, akkor a függőleges téglalapok milyen speciális tulajdonságát használod a bizonyításhoz? És hogyan következik ebből a tulajdonságból a végső állítás?