Minden egész számnak van olyan többszöröse, ami 1-esekből és 0-ákból áll. Hogyan bizonyítod?

A 0-nak és az 1-nek van, ez egyértelmű.

Ha egy szám prímtényezős felbontásában csak 2-esek és 5-ösök szerepelnek, akkor biztosan van 10-nek egész kitevőjű hatványa, amit maradék nélkül el tud osztani a szám.

Ha a prímtényezők között szerepel más prímtényező is, akkor bizonyított tétel, hogy a tízhatványokat (1, 10, 100, 1000, 10000, stb.) elosztva a számmal egy maradék mindenképp ismétlődni fog. Ha ezeket a maradékokat össze tudjuk úgy adni, hogy összegük osztható legyen a számmal, akkor az ezek összegéből alkotott szám is osztható lesz a számmal.

Tegyük fel, hogy a vizsgált szám h, az ismétlődő maradék k (ami biztosan kisebb h-nál, de nagyobb 0-nál), ezen maradékokból vegyünk t darabot, így összegük t*k lesz. Az a kérdés, hogy ez az összeg mikor tud osztható lenni h-val, erre a válasz egyszerű; t=h esetén biztosan.

Ezek alapján egy olyan számot tudunk konstruálni, amelynek első számjegye 1-es, ezután található valamennyi 0, utána 1 darab 1-es, és ezek ismétlik egymást.

Vegyük például a 7-es számot. Nézzük a tízhatványok 7-es maradékait;

1 : 7 maradéka 1

10 : 7 maradéka 3

100 : 7 maradéka 2

1.000 : 7 maradéka 6

10.000 : 7 maradéka 4

100.000 : 7 maradéka 5

1.000.000 : 7 maradéka 1, és ez ismétlődik a végtelenségig.

Mivel 1-6-ig mindegyik maradék ismétlődik, ezért akármelyiket választhatjuk. Válasszuk például a 2-est. A fenti gondolatmenet alapján 7 darab olyan tízhatványt kell választanunk, amelyek 7-es maradéka 2, ekkor ugyanis azok összege 14 lesz, ami osztható 7-tel. Ez a szám ez lesz: 100000100000100000100000100000100000100

Ellenőrzés:

[link]

Valószínűleg van ennél kisebb szám is, de az állítás szempontjából az lényegtelen.

Nézzünk egy olyan számot is, ahol nem jelenik meg az összes, osztónál kisebb szám maradékként. Ilyen például a 18:

1 : 18 maradéka 1

10 : 18 maradéka 10

100 : 18 maradéka 10, és innentől ismétlődni fog a végtelenségig.

Tehát csak a 10-es maradék ismétlődik, így azzal foglalkozunk. Ebben az esetben az egyesek helyén álljon 0, majd írjunk elé 18 darab 1-est, ekkor az 1111111111111111110 számot kapjuk, és ez osztható 18-cal:

[link]

Tehát ezzel a módszerrel bármelyik számhoz biztosan található olyan többszörös, amelyik csak egyesekből és nullákból áll.