Hogyan lehetne ezt megoldani?

Nem vagyok teljesen jártas a témában, de ha jól értem, akkor definíció szerint az x elem rendje az a legkisebb r (pozitív egész), amire x^r=1 teljesül, ha pedig ilyen nincs, akkor r-et végtelennek vesszük. Az eredményt mindig a csoportra kell vonatkoztatni, tehát gyakorlatilag az a kérdés, hogy a hatvány csoportszámával vett maradéka mikor lesz 1.

Az S7 csoportban 0-6-ig vannak a számok:

0^r=1, nyilván 0^r=0, tehát ilyen r nem létezik, ezért definíció szerint ezt végtelennek vesszük.

1^r=1, itt ránézésre r=1 jó lesz nekünk, tehát az 1 rendje r=1 lesz.

2^r=1, itt már kicsit más lesz a történet. Ha más ötletünk nincs, írjuk fel a hatványokat egyesével, és vizsgáljuk meg, hogy mikor lesz a hatvány 7-es maradéka 1:

2^1 = 2 (maradék: 2)

2^4 = 4 (4)

2^3 = 8 (1), és itt meg is állhatunk, vagyis a 2 rendje r=3 lesz.

3-mal:

3^1 = 3 (3)

3^2 = 9 (2)

3^3 = 27 (6)

3^4 = 81 (4)

3^5 = 243 (5)

3^6 = 729 (1), és innen kapjuk, hogy a 3 rendje r=6 lesz.

Itt álljunk meg egy pillanatra; a korábbiakból érdemes visszaemlékezni arra, hogy ha egy maradékosztályba tartozó számot szoroztunk egy másik számmal, akkor azt tapasztaltuk, hogy a szorzat maradéka a számok maradékainak szorzatának maradéka lett. Például a 13*19=247 7-es maradéka 2, a 13 7-es maradéka 6, a 19 7-es maradéka 5, a 6*5=30 7-es maradéka szintén 2, tehát anélkül meg tudjuk határozni a szorzat maradékát, hogy a konkrét szorzatot elvégeznénk. Ennek megfelelően a fenti táblázatot így tudjuk egyszerűsíteni (mindig csak a korábbi hatvány maradékát szorozzuk a vizsgált számmal, jelen esetben 3-mal):

3^1 = 3

3^2 = 9, maradéka 2

3^3 maradéka = 2*3 maradéka = 6

3^4 maradéka = 6*3 maradéka = 18 maradéka = 4

3^5 maradéka = 4*3 maradéka = 12 maradéka = 5

3^6 maradéka = 5*3 maradéka = 15 maradéka = 1, tehát 3^6=1, így 3 rendje r=6.

Ez alapján a többi számra meg tudod csinálni?