Kezdőoldal » Közoktatás, tanfolyamok » Házifeladat kérdések » Hogyan bizonyítod be, hogy ez...

Hogyan bizonyítod be, hogy ez a sorozat korlátos?

Figyelt kérdés
sorozat: (1 + 1/n)^n

2022. okt. 11. 13:34
 1/3 A kérdező kommentje:
Pontosabban azt, hogy 2 < (1 + 1/n)^n < 3
2022. okt. 11. 13:37
 2/3 anonim ***** válasza:
A sorozat határértéket az Euler féle szám ami 2,72.
2022. okt. 11. 14:16
Hasznos számodra ez a válasz?
 3/3 anonim ***** válasza:

Felső korlát: vegyed az (1 - 1/m) számot m-szer (azaz m db-ot, ahol m ≥ 2), és az (1 + 1/n) számot n-szer (n ≥ 1). Írd fel erre az m + n db számra a számtani-mértani egyenlőtlenséget:


[(1 - 1/m)^m][(1 + 1/n)^n] ≤ [(m - 1 + n + 1)/(m + n)]^(m + n) = [1]^(m + n) = 1


Átrendezve kapjuk, hogy bármely n ≥ 1-re és bármely m ≥ 2 -re:


(1 + 1/n)^n ≤ (1 - 1/m)^(-m)


Mivel m és n egymástól független, bármely n ≥ 1 -re és történetesen m = 6-ra igaz, hogy :


(1 + 1/n)^n ≤ (1 - 1/6)^(-6) < 3


Az alsó korlát jön a Bernoulli-egyenlőtlenségből: 1 + nx ≤ (1 + x)^n -ben legyen x:= 1/n, így bármely n ≥ 1-re: 2 ≤ (1 + 1/n)^n.

2022. okt. 11. 14:58
Hasznos számodra ez a válasz?

Kapcsolódó kérdések:





Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!