Hogyan alakítsam szorzattá a számlálót és a nevezőt, hogy tudjam egyszerűsíteni ezt az algebrai törtet? x3+2x2-x-2/x2+x-2

Nézzük a számlálót!

Mivel van egy x^3, ezért írjuk fel ezt:

(x ....)(x^2 ....)

Az x^2-ből +2 van, ezért:

(x + 2)(x^2 ....)

Kell még "-x" és "-2", vagyis:

(x + 2)(x^2 - 1)

A nevezőben valószínűleg az első tagot tudjuk előállítani. Próbáljuk meg!

(x + 2)*(....) = x^2 + x - 2

(x + 2)*(x ...) = x^2 + 2x

Ehhez még kell "-x" és "-2", tehát:

(x + 2)*(x - 1) lesz a nevező.

Egyszerűbb lenne a nevezőből kiindulni, elvégre egy másodfokú kifejezést hamarabb szorzattá tudunk alakítani, mint egy harmadfokút. Valamint a fenti megoldás eléggé „ad hoc”-jellegű, nem biztos, hogy működik, ezért nézzünk egy általános megoldást;

Másodfokú kifejezést egyébként több módon is szorzattá tudunk alakítani, de a bevett megoldás az, hogy nézzük meg, mikor lesz ennek értéke 0, vagyis oldjuk meg az x^2+x-2=0 egyenletet. Ennek két megoldása az 1 és a (-2), ezek alapján az ide vonatkozó képlet szerint az (x-1)*(x+2) szorzatot kapjuk, zárójelbontással meg lehet róla bizonyosodni, hogy így van.

Ha a tört egyszerűsíthető valamelyikkel, akkor az a számlálónak is gyöke kell, hogy legyen (vagyis 0-t kell adnia eredményül), és azt látjuk, hogy mindkét számmal működik a dolog, vagyis (x-1)-gyel és (x+2)-vel is fogunk tudni egyszerűsíteni, vagyis a számlálót (x-1)*(x+2)*(x-valami) alakban fel tudjuk írni, ahol a „valami” a harmadfokú egyenlet harmadik gyöke. Természetesen megtehettük volna azt is, hogy a harmadfokú egyenletre ráeresztjük a megoldóképletet, de az eléggé macerás, sokkal hamarabb megoldásra lehet jutni a most leírt megoldással.

Most a kérdés az, hogy az „x-valami”-t szeretnénk meghatározni, vagy a gyököt. Esetünkben mindkét megoldás jó. Ezen a ponton átalában polinomosztással szoktunk továbbhaladni, de mivel ismerünk két gyököt és a harmadikat kellene megtalálni, ezért sokkal egyszerűbb a Viéte-formulákból kiindulni; ezek közül az egyik azt mondja, hogy az ax^3+bx^2+cx+d alakú harmadfokú kifejezés gyökeinek szorzata = -d/a, ezt követve:

1*(-2)*(valami) = -(-2/1), ezt megoldva:

valami = -1, tehát a harmadfokú kifejezésnek még gyöke lesz az (-1), vagyis egy (x+1)-es szorzó lesz benne.

Tehát a feladat:

(x-2)*(x-1)*(x+1) / (x-2)*(x-1), egyszerűsítés után (x+1) marad belőle.