Hogyan tudok felírni inhomogén koordinátát homogén koordinátaként?

Homogén koordinátákat pl. perspektív vetítésnél alkalmaznak, pl. számítógépes 3D grafikában.

Képzeld el, hogy egy projektorról a falra vetítesz egy képet. Nyilván, minél távolabb van a fal a projektortól, annál nagyobb lesz a kép, és fordítva. Ha a falra fel van rajzolva egy koordináta rendszer és a projektorról rávetítünk egy pontot, akkor a falon megjelenő pont pozíciója a projektor távolságától fog függeni.

A homogén koordináták a távolságot is tartalmazzák, ezt a W koordináta szokta jelölni. Tegyük fel, hogy 3 méterről a pont (15; 6)-nál jelenik meg. Ekkor a homogén koordinátája: (15; 6; 3).

De ha csak 1 méterre van, azaz harmad olyan messze, akkor a koordináták is harmad akkorák lesznek: (5; 2; 1).

Gyakorlatilag végtelen sok vetített, homogén koordináta tartozik ugyanahhoz az eredeti ponthoz.

Tulajdonképpen a homogén koordináták eggyel magasabb dimenzióba emelik a pont pozícióját: 2D-ből 3D-be, 3D-ből 4D-be.

Ez azért hasznos a 3D grafikában, mert a 3D-s pontokat matematikailag csak 3×3-as mátrixxal lehet transzformálni, egy 3×3-as mátrix viszont nem tud minden transzformációs mozgást tartalmazni – de egy 4×4-es mátrix már igen! Ehhez viszont 4D-s pontok kellenek, ezért a 3D-s pontokat 4D-s, homogén pontokká alakítják: egyszerűen hozzáfűznek egy W=1 koordinátát, így pl. a P(20; 30; 40) pont homogén koordinátaként Ph(20; 30; 40; 1) lesz.

A transzformációk után az előbbi pont homogén értékére adódhat pl. Ph'(1; 2; 3; 4). Ezt a projektoros példa nyomán értelmezhetjük úgy, hogy W=4 méterre van a kép a projektortól. Ha ezt normalizáljuk, azaz elosztjuk W-vel az összes koordinátát, akkor megkapjuk azt a Ph'(0,25; 0,5; 0,75; 1) homogén koordinátát, amiből a W koordináta elhagyásával kiolvasható a P pont új, transzformált 3D koordinátája: P'(0,25; 0,5; 0,75).

Descartes koordinátából tehát roppant egyszerű homogénné alakítani: csak hozzá kell toldani egy 1-est: (2; 3; 4;) => (2; 3; 4; 1).

Homogénből pedig akkor lehet Descartes koordinátává alakítani, ha W=1, ekkor a W koordináta szimplán elhagyható: (10; 20; 30; 1) => (10; 20; 30). Ha W≠1, akkor viszont előbb W-vel osztani kell minden koordinátát: (10; 20; 30; 5) => (2; 4; 6; 1) => (2; 4; 6).