Hogyan állapíthatom meg az alábbi állításokat egy lineáris egyenletrendszerről?

a, az oszlopok által kifeszített tér, ha a_i i-edik oszlopvektor: x1*a_1 + x2*a_2 +x3*a_3= A*x, tehát akkor feszíti ki ha van megoldása az egyenletnek b-re. De ennek az egyenlőségnek koordinátánként is működnie kell, és ha az utolsó sort nézzük: x1*0+x2*0+x3*0=0 =/= 1 így b-t nem feszítik ki. Aol a gauss-elimináció 0 sort eredményez ott a b vektornak is 0 kell hogy legyen a koordinátája.

b, ugyanúgy mint a, esetben akkor és csak akkor legyen egy sor 0 ha ott b is 0.

c,a főátló mind a 4 eleme nem nulla, így a rang 4. Künnyű ezt látni, mert akkor elemi átalakítással, mindent lenullázhatunk a főátlón kívül.(háromszög mátrix esetén persze, ahogy itt is)

d, szintúgy a, b, eset

e, c, eset

f, a főátlóban mindhárom elem nem nulla, így függetlenek. c, magyarázat

g, f, est

h, a rang maximum akkora mint a kisebbik "szélesség rang <=3, ahány nem nulla elem van a főátlóban

i, a, eset

j, h, eset

k, ha ott nulla sor van ahol b nem 0 akkor nincs megoldás, egyébként ha az egyenletek száma(nem nulla sorok) egyezik a változók számával akkor, egy, ha kevesebb, akkor végtelen megoldás van.

Ezek a megállapítások csak a Gauss-eliminációval előállított háromszög mátrixra vonatkoznak!

Rang a maximálisan független vektorok számát jelöli, tehát ha 2 a rangja, akkor legyen 2 független oszlopvektor ami előállítja a 3.-at. Az első két oszlop független. Tehát ez olyan mint 2 oszlopból álló mátrix bővített változata egy egyenletrendszer megoldásánál, és legyen az egyenletrendszernek megoldása, úgy válasszuk meg x-et:

1x+1y=2

1x+2y=5

-2x-6y=x