Adott a 2,5,8,11,14,...sorozat. a)Milyen szabály szerint követik egymást a tagok? Írjuk fel a következő hat tagot. b)Ha a sorozat első 2022 tagját négyzetre emeljük és ezeket összeadjuk, mi lesz az eredmény utolsó számjegye?

a) 3-mal nőnek. 17,20,23,26,29,32

b) Azt kell tudnunk, hogy az összeg utolsó számjegye a számok utolsó számjegyeinek összegének utolsó számjegye, mivel ahhoz csak az utolsó számjegyeket kell összeadnunk. Azt kell észrevennünk, hogy az utolsó számjegyek periodikusan ismétlődnek, tehát a 2;5;8;1;4;7;0;3;6;9 számjegyek követik egymást. Ezek négyzeteinek utolsó számjegye: 4;5;4;1;6;9;0;9;6;1, ezek összege 45, tehát ezek összege 5-re végződik. Azt is láthatjuk, hogy a végződések egy 10-es periódust adnak ki, ami azt jelenti, hogy a 2022 tag alatt 202 ilyen periódusunk lesz, vagyis ezt az 5-ös végződést 202-szer kell összeadnunk, és ennek az összegnek az utolsó számjegye: 202*5=1010, ami 0-ra végződik.

Innen már csak a 2021, és 2022 tagra van szükségünk, illetve azok utolsó számjegyeire, ezeket pedig könnyedén meg tudjuk adni az előbb meghatározott számsorozatból, ezek pedig a 2 és az 5. A négyzetre emelés után a 4 és 5 számokat kapjuk, tehát az utolsó számjegy: 0+4+5=9.

Ellenőrzésként a WolframAlphát is használhatjuk:

[link]