A)Ha abc háromjegyű természetes szám és [a/(bc-1)]+bc= bc,bc; akkor hogy igazoljam, hogy m= a(bc-1) és n= (bc-1):a négyzetszám? b)Határozzuk meg az abc háromjegyű természetes számokat, ha tudjuk, hogy a/(c+1)= (a-2)/(b-3)= 4/c természetes szám.

Az a) biztosan így van?

A b) egyenletrendszert megoldva kapod, hogy b=(4a-14)/(a-4) c=

Akkor ebben egyelőre nem tudok segíteni.

Az egyenletbol kifejeztem a-t, majd n-be és m-be helyettesitettem, de nem látom, hogy négyzet lenne egyik sem.

Az első azért fura, mert egyszerűen ki tudunk vonni bc-t:

a/(bc-1) = 0,bc, szorozzunk 100-zal:

100a / (bc-1) = bc, szorzunk a nevezővel:

100a = (bc)^2 - bc

A bc kétjegyű szám felírható 10b+c alakban:

100a = (10b+c)^2 - (10b+c), kibontjuk a zárójelet:

100a = 100b^2 + 20bc + c^2 - 10b - c

A bal oldal biztosan osztható 10-zel, így a jobb oldalnak is annak kell lennie. A jobb oldali összeg utolsó számjegyét csak a c^2-c rész befolyásolja. Tehát most az a kérdés, hogy milyen egyjegyű számot emeljünk négyzetre, hogy különbségük utolsó számjegye 0 legyen. Mivel nincs túl sok számjegy, ezért akár egyesével is végig lehet nézni, de amik nekünk jók: 0^0=0, 1^1=1 5^2=25, 6^2=36, tehát c lehetséges értékei: 0,1,5,6

-Ha c=0:

100a = 100b^2 - 10b, osztunk 10-zel:

10a = 10b^2 - b, bal oldal még mindig osztható 10-zel, ugyanezt a jobb oldal csak b=0 esetén tudja megcsinálni, tehát b=0, erre a=0 adódik, tehát mindhárom számjegy 0, ami nem jó.

-Ha c=1, akkor

100a = 100b^2 + 20b + 1 - 10b - 1, összevonunk:

100a = 100b^2 + 10b, osztunk 10-zel:

10a = 10b^2 + b, itt is ugyanaz a helyzet, mint az előbb, tehát ez sem jó.

-Ha c=5, akkor

100a = 100b^2 + 100b + 25 - 10b - 5, összevonunk:

100a = 100b^2 + 90b + 20, osztunk 10-zel:

10a = 10b^2 + 9b + 2, a bal oldal osztható 10-zel, így a jobb oldalnak is annak kell lennie, amit a 9b+2 rész tud befolyásolni. Ahhoz, hogy a 9b+2 osztható legyen 10-zel, a 9b szorzat eredménye 8-ra kell végződjön, ez pedig csak a 9*2=18 esetén van így, tehát b=2:

10a = 40 + 18 + 2, összevonás:

10a = 60, innen a=6. Tehát a=6, b=2, c=5, ezekből könnyen igazolható az eredeti állítás.

-Ha c=6:

100a = 100b^2 + 120b + 36^2 - 10b - 6, összevonunk:

100a = 100b^2 + 110b + 30, osztunk 10-zel:

10a = 10b^2 + 11b + 3, itt a 11b+3nak kell oszthatónak lennie 10-zel, ami b=7-re lesz igaz, tehát:

10a = 490 + 77 + 3, vagyis

10a = 570, innen a=57. Tehát a=57, b=7, c=6, viszont a az (abc) háromjegyű szám első számjegye, az 57 meg nem számjegy, ezért ez nem megoldás.