A)Melyik a legkisebb háromjegyű,nem palindromszám,amelyik három darab,különböző,kétjegyű palindromszám összegeként írható fel? b)Igazold,hogy 2^p köbszám. c)Hány darabb hatjegyű palindromszám osztható 22-vel?

a) A három kétjegyű palindromszám: aa. bb, cc, ezek mindegyike felírható összegalakban: 10a+a, 10b+b, 10c+c, ezek összege: 10a+a+10b+b+10c+c = 11a+11b+11c, itt ki tudunk emelni 11-et: = 11(a+b+c)

A legkisebb szóba jöhető háromjegyű szám a 110, mivel 110=11*10. Kérdés, hogy a 10-et fel tudjuk-e írni három különböző pozitív egész szám összegeként. És igen: 10=1+2+7, vagyis 11+22+77=110.

b) Ebben a megfogalmazásban mi a p? Általában prímszám szokott lenni, de nem minden prímszámra igaz. Ha palindrom, akkor azokra sem mindig (például p=11 esetén). Szóval kellene tudni, hogy mi az a p. Alapvetően a bizonyítása az lesz, hogy a p számnak oszthatónak kell lennie 3-mal, tehát csak azt kell megmutatni, hogy p mindig osztható 3-mal.

c) Vegyük az abccba hatjegyű palindrom számot (a különböző betűkkel jelölt számjegyek lehetnek azonosak). Egy szám akkor osztható 22-vel, hogyha egyszerre osztható 2-vel és 11-gyel is. A 2-vel oszthatóság közismert; utolsó számjegye 0;2;4;6;8 kell, hogy legyen, de most 0 nem lehet.

A 11 oszthatósági szabálya is viszonylag ismert; egymás után vonjuk ki majd adjuk össze a számjegyeket, és ha az így kapott szám osztható 11-gyel, akkor az eredeti is. Például a 319 osztható 11-gyel, mert 3-1+9=11, ami osztható 11-gyel. Esetünkben: a-b+c-c+b-a=0, a 0 pedig osztható 11-gyel, tehát bármit csinálunk, a hatjegyű palindromszám mindig osztható lesz 11-gyel.

Tehát csak a 2-vel oszthatósággal kell foglalkoznunk. Egyszerű kombinatorikai számításokkal a 4*10*10 szorzatot kapjuk (az a helyére 4-féle, a b és c helyére 10-10 számjegy mehet, ezeket összeszorozzuk), ennek eredménye pedig 400, tehát 400-féle hatjegyű, 22-vel osztható palindrom szám képezhető.