Öt különböző egész szám összege osztható öttel. Lehet-e, hogy közülük a, egyik sem osztható 5-tel b, az egyik osztható 5-tel, a többi nem c, kettő osztható 5-tel, három nem d, három osztható 5-tel, kettő nem e, egy osztható 5-tel, négy nem?

A b) és az e) ugyanaz, nem írtad el az e)-t véletlenül?

Ha az e)-t jól írod fel (vagyis 4 osztható 5-tel, az ötödik nem), akkor mindegyik teljesülhet, kivéve az e)-t. Mindegyikre viszonylag könnyen tudsz példát mutatni.

Az e) azért nem lehet, mert tudjuk, hogy ha egy 5-tel osztható és egy 5-tel nem osztható számot összeadunk, akkor az összeg nem lesz osztható 5-tel.

Legyen az összegünk a+b+c+d+e, ahol az első 4 osztható 5-tel, ezek összege legyen S, ami szintén osztható 5-tel, tehát az S+e összeget kell néznünk, ahol e nem osztható 5-tel. A fentiek szerint az összeg sem lesz osztható.

Igen, erre írtam azt, hogy mindegyikre van könnyű példa, csak az e)-re nincs megoldás (illetve nem lenne, ha normálisan lenne kiírva a feladat).

A trükk egyébként az, hogy csak a számok 5-ös maradékait kell vizsgálni, ugyanis tudjuk, hogy összeadáskor ezek a maradékon is összegződnek. Például: 6+9 = (5+1) + (5+4) = 5+5+5, és ebből látható, hogy osztható lesz 5-tel az összeg.

Az 5-tel oszthatók 5-ös maradéka 0, tehát például a c)-t így is kezdheted: 0+0+valami+valami+valami, és itt a valamin helyére is elég maradékokat írni. Például 0+0+1+1+3, és itt már csak annyi a dolgod, hogy a maradékok helyére megfelelő számokat írsz. Például 5+10+11+16+18, és erről már összeadás nélkül is tudjuk, hogy osztható lesz 5-tel.

a: 2, 7, 12, 17, 22

b: 1, 2, 3, 4, 5

c: 5, 6, 8, 10, 11

d: 5, 10, 12, 13, 15

e (normálisan): olyan nincs, mert az összeg ötös maradéka megegyezik az ötödik szám maradékával, így nem lehet öttel osztható.