Melyik az az x?

tg(x) + sqrt(2) = 0

tg(x) = -sqrt(2)

x = arctg(-sqrt(2)) = -54,73561

Azaz ha x az -54,73561 akkor tg(x) + sqrt(2) az 0 lesz, a 0 pedig természetes szám

Ugyanígy az 1 is természetes szám

tg(x) + sqrt(2) = 1

tg(x) = 1-sqrt(2)

x = arctg(1-sqrt(2)) = -22,5

Azaz ha x az -22,5 akkor tg(x) + sqrt(2) az 1 lesz, a 1 pedig természetes szám

A tangens függvény nem vesz fel egész értéket, ha az argumentuma nem egy olyan szög, amelynek a szinusz értéke és a koszinusz értéke is egész szám. Ezért az első egyenlet megoldása csak akkor lehet egész szám, ha tg(x) = 1, mivel ekkor a tangens függvény értéke egész szám, méghozzá 1. Tehát:

tg(x) = 1

Ez a feltétel akkor teljesül, ha x = π/4 + kπ, ahol k egész szám. Mivel a gyök(2) nem egy racionális szám, ezért az egyenlet csak akkor teljesülhet, ha k páros. Tehát a megoldások:

x = π/4 + 2kπ, k egész szám

A második egyenlet megoldásához először át kell írnunk ctg(x)-et tangens függvényre:

ctg(x) = 1/tg(x) = 1/(sin(x)/cos(x)) = cos(x)/sin(x)

Ezután behelyettesíthetjük a ctg(x) + gyök(2) értékét, és átrendezve az egyenletet:

cos(x)/sin(x) + gyök(2) = m, ahol m egész szám

cos(x) + gyök(2) sin(x) = m sin(x)

(cos(x)/sin(x)) + gyök(2) = m

tg(x) + gyök(2) = m

Mivel tg(x) nem vehet fel egész értéket, a jobb oldalnak sem lehet egész értéke, kivéve ha az egyenlőség mindkét oldala egyben nulla is. Tehát:

tg(x) + gyök(2) = 0

tg(x) = -gyök(2)

Ez a feltétel akkor teljesül, ha x = 5π/4 + kπ, ahol k egész szám. Mivel a gyök(2) nem racionális szám, ezért az egyenlet csak akkor teljesülhet, ha k páratlan. Tehát a megoldások:

x = 5π/4 + (2k+1)π, k egész szám

Vagyis azok a szögek, amelyekre a második egyenlet teljesül, az x = 5π/4 + (2k+1)π szögértékeket veszik fel.

Első körben tudjuk azt, hogy a tangens reciproka a kotangens és fordítva (feltéve, hogy egyik sem 0), tehát a kérdést úgy is átírhatjuk, hogy milyen y esetén lesz az y+gyök(2) és (1/y)+gyök(2) is egész. A gyök(2) értéke kb. 1,41, szóval gyakorlatilag az a kérdés, hogy ehhez milyen számokat tudunk hozzáadni.

Ha y=1, akkor a két szám megegyezik, de egyik sem lesz pozitív egész.

Ha y=/=1 pozitív, akkor azt tudjuk elmondani, hogy minden esetben egy 1-nél nagyobb és egy 1-nél kisebb számot adunk a gyök(2)-höz. Ha az y (vagy az 1/y) szám kisebb, mint 1, akkor az összeg biztosan 1,41-nél nagyobb és 2,41-nél kisebb, tehát egész értéket csak akkor tud felvenni, hogyha a 2-t veszi fel.

Tehát ha y>1, akkor az (1/y)+gyök(2)=2 egyenletnek szükségszerűen teljesülnie kell. Ennek megoldása y=1/(2-gyök(2)), kérdés, hogy erre a számra a másik egész lesz-e; 1/(2-gyök(2))+ gyök(2) =~ 3,12, ami biztosan nem lesz egész (számológép nélkül is meghatározható, én ezt most megspóroltam), tehát ebben az esetben nincs megoldás.

Ha 0<y<1, akkor az y+gyök(2)=2 egyenletnek kell teljesülnie, vagyis y=2-gyök(2), de a másik ugyanaz lesz, mint az előbb, tehát itt sincs megoldás.

Még egy olyan lehetőségünk lehet, hogy y értéke negatív, ekkor y (vagy 1/y) értéke 1-gyök(2) kell, hogy legyen (ugyanis ekkor veszi fel az 1-et), viszont akkor a másik szám mindenképp negatív lesz (-1), tehát ez sem jó.

Tehát a feladatnak nincs megoldása.

tg(x) + sqrt(2) = m

ctg(x) + sqrt(2) = n

___________________________

tg(x) = m - sqrt(2)

tg(x) = 1/(n - sqrt(2))

____________________________

m - sqrt(2) = 1/(n - sqrt(2))

mn+1 = (n+m)*sqrt(2)

Nincs ennek az egyenletnek természetes szám pár mgoldása.