Mi van akkor ha implikációnál egy eleve hamis mondatból indulunk?

"Az általam elmondottak alapján ez nem egy állítás."

Nem az volt a kérdés, hogy állítás-e, hanem hogy implikáció-e...

"Olvasd el a 12-es komment utolsó bekezdését."

Ezzel csak annyi a baj, hogy te ezt nagyon szépen leírtad, csak épp ezzel kapcsolatban semmit nem találok a neten. Tehát nincs olyan, hogy "általánosságban" nem lehet megfogalmazni állításokat implikációval. Szóval kérlek, linkelj valamit ezzel kapcsolatban.

"Egyébként ez is implikáció, ún. "univerzális implikáció" abban az elméleti keretben, ahol egyáltalán állításnak számít (ti. az elsőrendű logikában)."

Egyrészt, bár más is rámutatott, de azért én is megkérdezem; hogy lehet az, hogy erre az úgynevezett univerzális implikációra semmit nem ad ki nekem a Google?

Másrészt ez az érvelés azért aggályos, mert korábban azt mondtad, hogy mindentől függetlenül implikáció az, ami "akkor"-t tartalmaz. Most akkor elsőrendű logikában nem implikáció, máshol meg igen? ...

Apropó, én teljesen más dolgokat olvastam a nulladrendű és elsőrendű logikáról, szóval érdemes lenne azzal kezdeni, hogy TE mit értesz pontosan alatta. Mert amiket én olvastam, azok kicsit közelebb állnak az én értelmezéseimhez, mint a tiedéhez...

Mi több, a Wikipédián (bár tudom, nem annyira jó hivatkozási alap, de legalább akkor megnézhetjük, hogy abban van-e hiba) a következőt állítja (bár a nullandrendű logikát ítéletlogikának nevezi):

[link] , utolsó mondat:

[Az ítéletlogika elsődlegesen abban különbözik a kijelentéslogika más ágaitól, s azért nevezzük nulladrendűnek, mert nem használ változókat, csak zárt nyelvi formákkal foglalkozik.]

Ezek alapján egy baromság az, hogy egyesével kell a kijelentéseket megtenni...

De, ha lejjebb mész, ott is azt tárgyalják, amiről már korábban szó volt, vagyis ha egyesével végigmegyünk a lehetőségeken, akkor mindig az igazságtáblának megfelelő értéket kell, hogy kapjuk, máskülönben nem tudunk állításról beszélni.

Mi több; állítás csak az lehet, amiről EGYÉRTELMŰEN el lehet dönteni, hogy igaz-e vagy sem. Szóval már itt bukik az alapfeltevésed, mely szerint mindig implikációról van szó, függetlenül attól, hogy ki tudjuk-e értékelni.

#19-20-21:

"Attól függ, hova mutat az "Ez"."

Te most szándékosan játszod az autistát, vagy tényleg ennyire fogalmatlan vagy? ... Nyilván az előtte lévő mondatra vonatkozik az "ez"...

Azért ennyire igazán lehetnél rugalmas, de tényleg...

"Mindenesetre ha implikáció alatt a kétváltozós LxL->L függvényt értjük, akkor az pont ugyanúgy viselkedik, mint mondjuk a "vagy" függvény.

Szóval "ez" (bármi is legyen) pont annyira "implikáció", mint a

> Egy egész szám 0-ra végződik, vagy osztható 10-zel."

Ha pont ugyanúgy viselkedik, akkor már régen rossz... Ugyanis a diszjunkció és az implikáció igazságtáblája NEM EGYEZIK MEG, következésképp NEM LEHET A KETTŐ UGYANAZ.

De ha már itt tartunk, az implikáció is átírható diszjunkcióként;

P->Q = -P V Q, és azért mert ennek a kettőnek MEGEGYEZIK AZ IGAZSÁGTÁBLÁJA.

De nem is az volt a kérdés, hogy hogyan lehet máshogyan átírni, hanem az, hogy az állítás implikáció-e, ami még mindig nem az, bármennyire is azt mondjátok, hogy ha "akkor" van benne, akkor automatikusan implikáció...

Stílszerűen egy implikációval szeretném megértetni veletek, mi a probléma az állításotokkal;

Ha a P és Q állítások között implikáció áll fenn (aminek szokásos jelölése P->Q), akkor "Ha P, akkor Q" alakban megfogalmazható.

Viszont az állítás megfordítása NEM IGAZ, tehát vannak olyan "Ha ..., akkor ..." alakú állítások, amik nem implikációk, erre tökéletes példa az ekvivalencia.

"Leírtam, közvetlenül azután, amit kiidéztél."

Igen, csak annak épp se füle, se farka...

"A matematikában szeretünk matematikai objektumokról beszélni. Ha "implikáció" alatt az LxL->L függvényt érted, akkor az egy matematikai objektum (méghozzá egy halmaz)."

Igen, ezt értem alatta. Meg úgy általában minden normális ember ezt szokta érteni alatta...

#24: ""A matematikában szeretünk matematikai objektumokról beszélni. Ha "implikáció" alatt az LxL->L függvényt érted, akkor az egy matematikai objektum (méghozzá egy halmaz)."

Igen, ezt értem alatta. Meg úgy általában minden normális ember ezt szokta érteni alatta..."

Remek.

#18 szerint amit írtál az egy ún "állítás" az elsőrendű logikában*, és ha állítás, akkor nem azonos az implikáció nevű függvénnyel, eleve nem is függvény.

Ez a kérdésedre a helyes válasz. De ez túl egyszerű, szerintem te is tisztában voltál ezzel.

* bár nem találtam rá definíciót, de szerintem az 'állítás' is egy matematikai objektum (halmaz, stb) kéne hogy legyen

#25, de akkor keverednek megint a dolgok, mert ugye azt mondtátok, hogy az "akkor"-os mondatok mind implikációk...

Igen, a szöveg egy állítás, ami vagy igaz, vagy hamis, ez attól függően van így, hogy hol vizsgálódunk.

Vegyünk egy másik példát;

Ha egy (10-es számrendszerbeli egész) szám 4-re végződik, akkor (maradék nélkül) osztható 2-vel.

Ez egy igaz állítás, nem is nehéz belátni.

A következő kérdés, hogy ez az állítás implikáció-e, ezt további vizsgálattal tudjuk megmondani úgy, hogy felírjuk az igazságtáblája szerint;

1 1: Ha egy (10-es számrendszerbeli egész) szám 4-re végződik, akkor (maradék nélkül) osztható 2-vel. Azt mondtuk, hogy ez igaz: 1

1 0: Ha egy (10-es számrendszerbeli egész) szám 4-re végződik, akkor (maradék nélkül) osztható 2-vel. Mivel nem tudunk ellenpéldát mutatni, ezért nem igaz: 0.

0 1: Ha egy (10-es számrendszerbeli egész) szám nem 4-re végződik, akkor (maradék nélkül) osztható 2-vel. És ennél a résznél jön be a "logikátlan logika", mivelhogy ez az állítás akkor lesz igaz, hogyha tudunk példát mutatni, nem pedig akkor, hogyha mindig igaz. Mivel tudunk mutatni, ezért igaz: 1

0 0: Ha egy (10-es számrendszerbeli egész) szám nem 4-re végződik, akkor (maradék nélkül) nem osztható 2-vel. Ahogy az előző sornál, itt is van példa, tehát itt is igaz: 1

Mivel az implikáció igazságtábláját kaptuk meg, ezért az eredeti állítás implikáció lesz (adott körülmények között).

Ha ugyanezt végigzongorázzuk a korábban említett ekvivalenciára, akkor a harmadik sorban ezt kapjuk:

0 1: Ha egy egész szám 0-ra végződik, akkor nem osztható 10-zel. Mivel erre nem tudunk példát mutatni, ezért ez az állítás hamis lesz: 0. És mivel ez hamis ezért EZ NEM LEHET IMPLIKÁCIÓ. Ha pedig felvázoljuk a teljes igazságtáblát, akkor az ekvivalencia igazságtábláját kapjuk, ÉS EMIATT lesz ez ekvivalencia, nem pedig implikáció.

Ah. A te implikáció fogalmadat szemantikus konzekvenciának[0] hívják, és nem nyíllal, hanem ⊨-vel jelölik. (Illetve te megköveteled hogy ha A⊨B, akkor B⊨A ne állhasson fenn, mert azt ⇔-vel kell jelölni...)

Szerintem mindenféle tételek vannak arra vonatkozóan, hogy

: A(n) ⊨ B(n)

és

: ⊨ ∀n ( A(n) → B(n) )

ugyanazok.[1]

Tehát annak eldöntésére hogy /igaz/-e "Ha egy egész szám 0-ra végződik, akkor osztható 10-zel.", tökéletesen jó módszer az is, hogy megnézed minden számra hogy igaz-e a '→' függvény, és az is, hogy megnézed hogy van-e ellenpélda.

[0] [link]

[1] most rákeresve azt írják hogy nem ugyanazok [link] de nem tudom hogy hogyan nem ugyanaz, van-e valami értelmes ellenpéldájuk

De ha jól értem, te osztályozni akarod az tulajdonságok közötti ok-okozat kapcsolatokat, az így legyártott egzisztenciális "igazságtábláik" alapján.

Azaz megnézed hogy pl van-e olyan modell (egész szám), amire A igaz és B nem. Illetve, hogy mire nincsen modell (az adja szemantikus ok-okozati kapcsolatot).

Van 16 lehetséges "igazságtábla", amiket akár a megfelelő logikai függvények alapján is elnevezhetsz, de ezt felesleges erőltetni, a legtöbb esetben az ok-okozati kapcsolat és a logikai függvény neve tök eltérő.

Például ha az "igazságtábla" tök teli van, akkor célszerű az A és B közötti ok-okozati viszonyt "nincs kapcsolat"-nak hívni, és nem pedig "konstans igaz"-nak.

Amikor az "igazságtábla" a logikai implikáció függvénynek felel meg, akkor azt "szigorú implikációnak" akarnád hívni például. De ez elég messze van a kérdéstől.

Ó, bakker, ki fogok szállni ha ekkora kommentfosást produkáltok holnapra is.

@dq

Az, hogy egy hozzászólás melyik korábbira hivatkozik, egyértelmű volt, mielőtt beleszálltál feleslegesen a vitába.

Implikációnak szokás nevezni az említett igazságfüggvény mellett azokat a formulákat is, amelyek összetételében a legkülső művelet implikáció, vagyis az "A -> B" alakúakat. Ez a definíció jólformált, a formulák szintén matematikai objektumok, méghozzá halmazok; semmi gond nincs itt. [Ez egy tisztán szintaktikai fogalom; nincs köze ahhoz, hogy a formula vagy részei igazak-e. Ez az, amit a másik kolléga nem ért.]

Ugyanez működik "vagy"-ra is: diszjunkciónak szokás nevezni az "A ∨ B" alakú formulákat, illetve hasonlóan, konjunkciónak az "A ∧ B" alakúakat.

Tehát nem a következményrelációval kevertük össze. És most bunkó leszek: akinek a StackExchange-en kell utánanéznie, hogy "A(n) ⊨ B(n)" és "⊨ ∀n(A(n) → B(n))" egyszerre teljesül-e (igen, egyszerre teljesül), annak különösen nem kéne részt vennie egy logikáról szóló vitában hozzáértői szerepben. Ez csak az én véleményem.

@másik kolléga

A Wikipédia helyesen írja, a nulladrendű logikában változót nem tartalmazó, zárt atomi állításokból lehet összetetteket képezni. Pár példa:

"Esik az eső

"Én vagyok a miniszterelnök"

"A 3 prímszám"

Ezek nulladrendű atomi állítások lehetnek, mivel nem tartalmaznak változót, amelynek kiértékelésétől függne az igazságértékük. Ezek igazságértékét közvetlenül adják a tények (illetve formálisan az interpretáció).

Nézzünk eggyel összetettebb mondatokat:

"A 3 prímszám és páratlan".

"Ha én vagyok a miniszterelnök, akkor gazdag vagyok."

Ezek logikai szerkezete rendre: "A ∧ B", illetve "A -> B". Mindkettő két részből áll, amelyet egy logikai művelet köt össze. Helyesen láttad, hogy az ilyenek igazságértékét úgy kell megállapítani, hogy egyszerűen alkalmazzuk a művelet igazságtábláját a részek adott igazságértékeire.

Nézzük most a "Ha egy egész szám 0-ra végződik, akkor osztható 10-zel." mondatot. Eggyel precízebben felírva így szól:

"Ha x egész szám, akkor x osztható 10-zel".

Még eggyel precízebben:

"Minden x egész számra, ha x 0-ra végződik, akkor osztható 10-zel."

Eggyel részletesebben:

"Minden x-re, ha x egész és 0-ra végződik, akkor osztható 10-zel."

Formálisabban jelölve:

"Minden x-re, ha x∈ℤ és végződik(x,0), akkor 10|x."

Még formálisabban jelölve:

"∀x[(x∈ℤ ∧ végződik(x,0)) -> 10|x]"

Vezessünk be két rövidítést: P(x) <--> x∈ℤ ∧ végződik(x,0); Q(x) <--> 10|x. A rövidítésekkel felírva:

∀x(P(x) -> Q(x))

Mint látható ez a formula lényegesen különbözik a korábbiaktól, mivel ugyan ennek is van két része, de:

- megjelent egy változó, aminek értékétől függ a részek igazságértéke;

- a két részt nem egyszerűen összeköti a művelet, hiszen rajtuk kívül áll még egy kvantor.

Az ilyen állításokat nevezzük elsőrendűeknek. Az ilyeneknek a szemantikája is lényegesen bonyolultabb. Az igazságérték megállapításához:

- először a változóhoz kell egy értéket hozzárendelni;

- majd alkalmazi kell a művelet igazságtábláját;

- végül alkalmazni kell a kvantor igazságfeltételét.

Mint látjuk, elsőrendű állítások igazságértékét nem pusztán az igazságtábla határozza meg, ezért nem nyújtanak érvet arra, hogy mit tekintsünk a művelet igazságtáblájának. Szóbahozni sem kéne őket, amikor igazságtáblákról szól a kérdés.

Az a baj 7-es és 26-os kommenttel, hogy az ott szereplő példák elsőrendűek, de nulladrendűként kezelted őket. Azt hitted, két részből állnak, amelyek igazságértéke előre megállapítható, amelyekre utána csak alkalmazni kell egy igazságtáblát. Nem azért jutottál logikátlan logikára, mert az igazságtábla hibás, hanem mert itt az igazságérték más tényezőktől is függ. Nem azt csináltad, ami a "feladat megoldásához kell".

-------

Univerzális implikációnak ugyebár a ∀x(P(x) -> Q(x)) alakú elsőrendű formulákat neveztem. Tessék, egy guglizott válasz róla (az angolban az implikációt kondicionálisnak szeretik nevezni):

[link]

Le kéne szokni egyébként erről a szemléletről, hogy amit a google nem dob ki azonnal, az nem létezik. Régi tankönyvek 200-adik oldalát nem képes idézni például.

"Korábban azt mondtad, hogy mindentől függetlenül implikáció az, ami 'akkor'-t tartalmaz".

- Úgy értettem, hogy nulladrendű állításokban, hiszen a kérdés azokról szól, az elsőrendűeket csak te keverted ide. Elsőrendben is implikációt jelez, csak ott gyakran nem az a legkülső művelet, így az egész formulát nem nevezhetjük implikációnak.