Algebra irreducibilitás?

[link]

A fenti azonosság miatt az a=0, 3, 6, 7, 9 esetekben a polinom szorzattá alakítható a fenti azonosság alkalmazásával, így csak a többi esetben kell nézni az irreducibilitást.

Sajnos többet nem tudok segíteni.

A Schönemann-Eisenstein kritériumot kell az ilyeneknél használni; ha létezik p prím, amire a következők vonatkoznak:

-p osztja a főegyütthatót kivéve az összes együtthatót,

-p nem osztja a főegyütthatót,

-valamint p^2 nem osztja a konstans együtthatót,

akkor irreducibilis a polinom.

Végig kell nézni, hogy tudunk-e ilyen prímet mondani. Mivel a 2^a csak 2-vel, mint prímszámmal osztható (ha a>0), emiatt csak a 2-vel kell foglalkoznunk.

Az első feltétel az a=0 esetén nem teljesül egyedül, tehát a=0-ra reducibilis.

A második feltétel mindig teljesül, mivel az 1-et nem tudjuk osztani prímszámmal.

A harmadik feltétel csak a=1 esetén nem teljesül, tehát egyedül az x^21-2 polinom lesz irreducibilis Q felett.

Azon töröm a fejem, hogy pl. x^21-4 hogyan alakítható szorzattá.

Nem jutok semmire. Tud valaki segíteni?

A Schönemann-Eisenstein kritériumról eddig nem hallottam. Itt néztem utána:

[link]

Itt azt írják, hogy a megfordítása nem igaz. Ez számomra azt jelenti, hogy lehet olyan polinom, amelyik a racionális számok fölött irreducibilis, de nem alkalmazható rá a kritérium.

Nem lehet, hogy az x^21-4 ilyen?

Amit itt írtam, az egyáltalán nem válasz, csak meditálás.

[link]

Szóval úgy tűnik, hogy a S-E nem elég ide...

És úgy tűnik, hogy ez a helyzet akkor, ha a és 21 relatív prímek.

De ezt is csak gondolom.

Most már igazán kíváncsi lennék az egzakt megoldásra.

A kérdező számára összefoglalom:

Akkor irreducibilis a polinom a racionális számok felett, ha (21, a) = 1.

Az biztos, hogy ha (21, a) nem 1, akkor szorzattá alakítható (reducibilis) a polinom.

Az állítás bizonyítása már nem biztos. Én azt mondnám, hogy a szorzattá alakíthatósághoz az kell, hogy az

x^21 − 2^a

x^21 − 2^a = (x^3)^7 − 2^a = y^7 − 2^a

x^21 − 2^a = (x^7)^3 − 2^a = z^3 − 2^a

polinomok valamelyikének legyen racionális gyöke. Ez pedig csak akkor teljesül, ha (21, a) nem 1.

Sejtésben csatlakozom #7-hez, bár én sem tudom belátni. Mondjuk nem értem, hogy ő hogyan próbálja.

Szerintem ki lehet használni, hogy 2^a/21 valós gyöke a polinomnak, és ha a polinom felbomlik, akkor egy kisebb fokú polinomnak is valós gyöke.

Lehet, hogy prímekkel és számelmélettel kijön, hogy 2^a/21 nem lehet egy 21-nél kisebb fokú egész egyhós polinom gyöke? (Elég egész együtthatós felbontásokat nézni egyébként a Gauss lemma miatt, bár ez nem tűnik nagy könnyítésnek.)

Ha a kérdező tanulta, akkor a standard apparátus a testbővítések elmélete, amivel ezt le lehet gyilkolni, de nem tudom, hogy pontosan hogyan.

Talán van olyan jó erős tétel, amelyik kapcsolatot teremt a közbülső felbontási testek és a 2^1/21-gyel való való bővítés részcsoportjai között, és meg lehet mutatni hogy ha 2^a/21 generátor, akkor nincsen közbülső felbontási test, és így x^21-2^a felbonthatatlan.

Esetleg az látható be, hogy Q(2^a/21) tartalmazza 2^1/21-et ha (a,21)=1, így 2^a/21 minimálpolinomja legalább 21 fokú(?), tehát(?) nem áll elő kisebb fokú polinom gyökeként.

Sajnos annyira nem értek hozzá, hogy normálisan tudjak hivatkozni a vonatkozó tételekre és eredményekre, még a kereső, tankönyv és chatgpt segítségével sem.