Mutasd ki, hogy a 7x+3 törve 5x+2 tört irreducibilis, ha bármely x egész szám. (? )

Nem tudom, hogy ez a bizonyítás érthető-e nyolcadikos szinten:

Tegyük fel, hogy nem irreducibilis, tehát egyszerűsíthető. Mondjuk k-val lehet egyszerűsíteni. Ami azt jelenti, hogy a számláló és a nevező is osztható k-val. Vagyis::

(1) 7x + 3 = k·n

(2) 5x + 2 = k·m

Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat:

(3) 2x + 1 = k·(n-m)

Ez azt jelenti, hogy 2x+1 osztható k-val.

Vonjuk ki (1)-ből (3) háromszorosát, tehát 6x+3-mat:

7x+3 - (6x+3) = kn - k(3n-3m)

x = k·(n - [3n-3m])

Itt is a jobb oldalon csak az számunkra a fontos, hogy ott van a k szorzó, vagyis x osztható k-val.

De ha x osztható, akkor 2x is osztható k-val. Akkor viszont a nála 1-gyel nagyobb szám, 2x+1 nem lehet osztható ugyanazzal a k-val, pedig (3) pont azt mondja, hogy osztható.

Ellentmondásra jutottunk, tehát hibás volt a kiinduló feltételezés, hogy lehet egyszerűsíteni valamivel (k-val). Vagyis a tört nem egyszerűsíthető, irreducibilis.

az alábbiakban annyit fogunk felhasználni, hogy egy tört és a reciproka pontosan egyszerre irreducibilis, vagy sem

továbbá egész számokat kivonva nem változik az egyszerűsíthetőség ténye

(7x+3)/(5x+2)=(5x+2+2x+1)/(5x+2)=1+(2x+1)/(5x+2)

most áttérünk a reciprokra:

(5x+2)/(2x+1)=(4x+2+x)/(2x+1)=2+x/(2x+1)

(2x+1)/x=2+1/x

márpedig 1/x nem egyszerűsíthető

ennyi