Mi az a parciális törtekre bontás módszere?
Mi így tanultuk, de nem teljesen értem:
X(s) = Q(s)/P(s) = Q(s)/((s-s1)*(s-s2)*...(s-sn))
ahol s1,s2,...sn azok a nevező gyökei.
Majd: X(s) = C0 + C1/(s-s1) + C2/(s-s2) + ... + Cn/(s-sn)
ahol C0,C1,C2,... ismeretlen konstansok amiket meg kell határozni.
Viszont láttam olyan feladatot, ahol C0 konstans tag egyáltalán nem volt, és láttam olyat ahol volt. Ezt nem értem, az mitől függ, hogy mikor van C0 konstans és mikor nincs?
Illetve a másik kérdésem, hogy ez az egész hogy jön ki? Mindig + jel van a tagok között?
Általánosan letudná írni nekem valaki, hogy hogy működik ez az egész arciális törtekre bontás módszere és mire kell figyelni?
válasza:Vegyünk egy példát: legyen az a feladat, hogy ezt a két törtet összeadod:
1/(x+2) + 3/(x+5)
Értelemszerűen közös nevezőre hozol, majd a számlálókat összeadod, így kapod ezt:
(4x+11)/(x^2+7x+10)
De ha az lenne a kérdés, hogy ezt visszacsináld, akkor mit csinálnál? Ehhez kell nekünk az úgynevezett parciális törtekre bontás módszere.
Láthattad az eredeti példánál, hogy a nevezőben elsőfokú polinomoknak kell lenniük, tehát először ezeket kell megkeresnünk. Hogy ezt megtaláljuk, a polinom gyöktényezős alakjával kell tisztában lennünk, de ez középiskolás anyag, szóval elvileg tudod.
A gyöktényezők megtalálása után ilyen alakú a törted:
(4x+11)/((x+2)*(x+5))
Tudjuk, hogy ezt a nevezőt akkor tudod megkapni, hogyha szám/(x+2) és szám/(x+5) alakú törteket adsz össze (mint ahogyan az eredeti példában is volt), és innen már csak az a kérdés, hogy a számlálóba kerülő számokat hogyan lehet kinyomozni.
A nevezőben nem mindig olyan polinom van, ami valósban felbontható elsőfokúak szorzataként, olyankor egy kicsit másabb az eljárás, de először ezt tanuld meg jól, a többi majd utána jöhet.
"Viszont láttam olyan feladatot, ahol C0 konstans tag egyáltalán nem volt, és láttam olyat ahol volt. Ezt nem értem, az mitől függ, hogy mikor van C0 konstans és mikor nincs?"
Kicsit módosítsunk az eredeti példán:
1/(x+2) + 3/(x+5) + 5
Ha itt elvégzed az összeadásokat, akkor ezt kapod:
(5x^2+39x+61)/(x^2+7x+10)
Itt az előzőhöz képest azt a különbséget láthatod, hogy a számlálóban másodfokú polinom szerepel, ami azt eredményezi, hogy el tudjuk végezni (maradékosan) a polinomosztást, az eredménye pedig ez az 5-ös lesz. Tehát ha ezt szeretnénk parciális törtekre bontani, akkor úgy kezdenénk, hogy elvégeznénk, akkor azt kapnánk, hogy 5 + (4x+11)/(x^2+7x+10), majd a megmaradt törtön ugyanazt, amit az előbb leírtam.
"Illetve a másik kérdésem, hogy ez az egész hogy jön ki? Mindig + jel van a tagok között?"
A definíció úgy szól (mert úgy könnyebb kezelni), hogy igen, + van köztük. De persze előfordulhat, hogy a (2x+1)/(x^2+7x+10) törtet kellene parciális törtekre bontani, és ha plusszal írjuk fel, akkor annyi változás történik, hogy a szám/(x+2) tagban a számlálóban lévő szám előjele negatív lesz, amivel semmi baj sincs. Ez egyébként pont ugyanaz, mint amikor a polinomokat ax^n + bx^(n-1) + ... + x0 alakban definiáljuk, de attól még tudjuk, hogy léteznek olyan polinomok, amelyek együtthatói között szerepelnek negatív számok.
Maga a parciális törtekre bontás módszere egy többismeretlenes egyenletrendszerre vezet, amit meg kell tudni oldani. Ha a példát nem sikerül végigvezetned, akkor kifejtem bővebben.
válasza:
válasza:Plusz még annyit én is hozzátennék, hogy ha a nevezőnek valamely gyöke többszörös gyök, akkor a számlálóba más tag is kerül.
P/(...(x-x0)^n) -> A/(x-x0)+B/(x-x0)^2+...+C/(x-x0)^n, vagy
(Ax^(n-1)+Bx^(n-2)+...+C)/(x-x0)^n
Köszönöm szépen a hosszú választ, most már jobban értem.
Egy valamiben nem vagyok biztos, olvastam olyat, hogy C0 konstans tag csak akkor van, ha a számláló fokszáma az ugyanakkora (vagy nagyobb, de én úgy tudom hogy a nevező fokszáma mindig nagyobb mint a számlálóé) mint a nevezőé.
Ha a számláló fokszáma kisebb mint a nevező fokszáma, akkor nincs C0 konstans tag.
Pl.: 5/((x+5)*(x+2)) --> A/(x+5) + B/(x+2)
Vagy
(2x+3)/((x+5)*(x+2)) --> A/(x+5) + B/(x+2)
Tehát itt nincsenek C0 konstans tagok, míg ha a számláló is 2. fokú lenne akkor lenne már C0 tag.
Ez igaz, vagy nem ettől függ a konstans tag?
Azért bizonytalanít el, mert az egyik esetben csak "5", míg a másik esetben "2x+3" a számláló, mégis ugyanaz a felbontás, ha igaz az hogy csak a fokszámtól függ a C0 tag.
válasza:"Ez igaz, vagy nem ettől függ a konstans tag?"
De, pont ez a lényeg, és ezt is írtam. Illetve azt is, hogy a C0-os résszel nem kell foglalkozni, mert ha a számláló fokszáma nagyobb, vagy megegyezik a nevezőével, akkor AZ ELSŐ LÉPÉS, hogy elvégezzük a polinomosztást. És ha ez megvan, akkor a megmaradt tört (amelyben a számláló foka már biztosan kisebb a nevezőénél) átalakítása van már csak hátra, ahol csak a konkrét parciális törtek kellenek.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!