Matematikai sorozatok, hogy is van ez? Lim

#2

Na ezt még egyszer!

Az additiv konstans fontossága attól függ, a többi tag milyen.

Ha additiv a konstans (+3, -1,stb) és n tart plusz/mínusz végtelenhez, akkor a konstans elhanyagolható, praktikusan nulla (kevés kivételtől eltekintve). Ha additiv a konstans és n tart valamilyen konstans számhoz (pl nullához) akkor a konstans önmaga és ő határozza meg a határértéket.

A te esetedben az n-es tagok a meghatározóak, hiszen n tart végtelenbe, így a matematikai kifejezésben előbb-utóbb az n helyére akkora számok kerülnek, amikhez képest bármilyen konstans elhanyagolhatóan kicsi lesz.

Egyszerűsítsd a törtet n-nel:

(3 - 4/n) / (5/n - (7^n)/n)

Nyilvánvaló okokból a számláló 3-hoz tart. A nevezőben 5/n 0-hoz fog tartani, amit vizsgálnunk kell, az a (7^n)/n. Intuitíve érezzük, hogy ez végtelenhez fog tartani, de matematikailag 2 dologra van szükségünk, hogy erről meg tudjunk győződni;

-egyrészt ha egy adott ponttól szigorúan monoton nő, akkor jó eséllyel a végtelenhez fog tartani,

-másrészt ha a szomszédos tagok különbsége egy valamilyen konstansnál egy idő után mindig nagyobb lesz, akkor biztos, hogy a végtelenbe fog tartani.

A (7^n)/n sorozatról ezeket nem nehéz belátni. Tehát a végtelenhez fog tartani.

És mivel a egyszerűsített tört így 3/(-végtelen) alakú határérték, ezért ez 0-hoz fog tartani, és mivel az egyszerűsítéssel a tört érdembe nem változik, ezért az eredetinek is ez lesz a határértéke a végtelenben.